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1、小学数学教材中的大道理核心概念的理解与呈现,1,突出数学课的数学味,2,个人工作背景简介,任小学一线数学教学工作10年。任小学数学教研员16年。期间参加浙教版新思维小学数学教材编写，任编委。北京师范大学附属杭州中学任校长助理1年。2013年起任6-8年级数学教研员3年。现任4-6年级数学教研员，分管中小学学业评价。,3,在梯形ABCD中，AD/BC，AB=10 ，A=90， AD=4 ，BC=6，点P在线段AB上，是否存在以点P、A、D组成的三角形相似于点P、B、C组成的三角形? 若存在，求AP长；若不存在，请说明理由。,分类讨论在相似三角形中的应用,A,B,P,C,D,4,错例呈现,图形暗示
2、：DPPC，这个暗示无法避免。强化了凭直觉解题。,5,观察、直觉所得不能作条件用,图中空白部分是正方形,发展学生的图形直觉,6,长方体、正方体的认识,分成两节课上,7,下列图形中，哪个图形是长方体？,（1）,（2）,（3）,（4）,整体感知，直觉判断,8,静态观察，提取特征,观察长方体实物或图形，同桌交流：长方体有 个面， 每个面的形状是 ， 完全相同的面有 。长方体有 条棱， 长度相等的棱有 。长方体有 个顶点。,9,想一想：把长方体与其他立体图形区别开来的关键特征是什么？,（1）,（2）,（3）,分析比较，提取关键特征,10,基于关键特征的推理,6,长方形,相对的2个面完全相同。2个/组3
3、组=6个面。,12,相对的4条棱长度相等。4条/组3组=12条棱。,8,11,基于运动的推理：面动成体,12,基于运动的推理：线动成面,13,基于运动的推理：点动成线,14,基于运动的推理：点动成线,15,7,15,10,8,18,12,9,21,14,n+2,3n,2n,欧拉公式：棱=面+顶点-2,16,基于运动变化的推理,17,为什么上下一样粗细？为什么上下底面平行？,18,大道理：多样视角基于运动变换观点的理解,侧面积=底面周长经过距离体积=底面积经过距离,19,工厂的废气通过10个直径80厘米的圆形排气管口排入空中，排气速度平均0.1米/秒，这个工厂每天排出废气多少立方米？,20,大道
4、理：运动变化的学习价值,小学数学中引入平移、旋转、轴对称（反射），不仅是为了认识生活中这样的运动现象，更因为它为学习图形提供了统一的视角。把图形认识、图形运动、测量统一起来了。平移、旋转、轴对称描述了一种空间性质，在这一空间中图形经三种运动变化保持形状、大小不变，这种运动也叫刚体运动。,21,一道考题：先填空，再回答问题。,（1）右图中一共有 条线段。（2）5位朋友见面，每两人握一次手，他们总共握了 次手。（3）右图中一共有 条线段。（4）从前面3个小题的解答中你发现了什么？请解释为什么会这样。,22,大道理：联系的观点,A,B,O,C,D,A,B,C,D,E,23,对教学的启示：静与动,哪些
5、是三角形？什么叫做三角形？,24,对教学的启示：静与动,在什么条件下形成三角形？三点不在一直线上，两边之和什么叫做三角形？,A,25,用这样的观点,如何认识长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆。什么不变？所谓规律：就是变化中的不变性。如何引导学生认识圆周长与直径之间存在倍数关系？,26,大道理：定义与性质、判定,长方形特征：对边相等，四个直角。正方形特征：四边相等，四个直角。正方形是特殊的长方形（据特征）。,如何给长方形下定义？,长方形邻边不等，正方形邻边相等。,系统定义：属加种差方式。,经济原则：四个角是直角的四边形是长方形。,27,把下面的四边形分成两类,四个角是直角的四边形叫做长方形,2
6、8,射影几何,平行线交于无穷远点,29,射影几何,30,都涉及二维与三维之间的关系,在影像处理上有什么不同？,对教学有什么启示？,中心投影与平行投影,31,不同方位观察物体,从哪个方向观察可以看到图B?你真的看到了？（眼睛、点光源）怎么办？（平行光投影、压扁）需要说明、需要想象！,图A,图B,32,大道理：长度、面积、体积测量的本质,什么叫面积？物体表面或平面封闭图形的大小叫做面积。大小什么意思？数学地定义面积有五个属性：非负性；有限性；可列可加性；运动不变性；正则性（面积单位）。,33,为什么面积单位要用单位长度的正方形来定义，而不是用平行四边或其他图形？,34,35,36,你能找出平均每株
7、秧苗的占地面积吗？,种瓜得瓜，种豆得豆。无论如何，所有的辛劳最后都会有应有的回报！,37,哪个体积大？,大道理：公式的函数视角,38,面积与什么有关？,平行四边形的面积与什么有关？如何让学生感知？恐怕很难！历史上把公式当成函数来看可能是比较迟的事情。,s=ah=absin,底、高的变化一定引起面积变化，而邻边和角就不一定。,39,求下面图形的面积,学生为什么容易错？如何解决？,40,求下面图形的面积,S=53.2=16 s=a1h1,41,求下面图形的面积,S=44=16 s=a2h2,42,求下面图形的面积,S=53.2=16 s=a1h1,S=44=16 s=a2h2,两种方法都是底高，我
8、们确定面积公式是底高，要注意什么问题？,43,角的度量,可以通过定性比较两个角的大小到定量刻画两个角的大小，引出角的度量单位，定义1角。,44,角的度量,经历用1角度量一个角的过程，顺时针或逆时针从角的一边开始，顶点重合用1角摆，数出度数来经历量角器的形成过程，进而更好地理解用量角器量角的方法。,45,46,数：有趣的名称,自然数；整数；分数；小数；有理数；无理数；实数；虚数；复数。真分数；假分数；带分数。百分数。纯小数；带小数；有限小数；无限小数；循环小数；不循环小数；正数；负数。小学里学了哪些数？,47,分数的意义,把单位“1”平均分成若干份，表示这样1份或几份的数，叫做分数。分数的定义揭
9、示了分数在测量、分物等实践活动中的发生过程。0/5来自于数学运算，如05，4/5-4/5。用运算定义：分数与除法的关系。,4 5,6 5,0 5,48,大道理：数学来源的多样性,数学知识的发生过程：生活数学（最初的源泉，有局限性）数学数学数学生活数学知识的组织过程：数学数学（逻辑的考量，具有普适性）,49,50,51,52,这样教的正负数能比较大小吗？,小学生争论：结余2000元记做+2000，负债4000元记做-4000，+2000和-4000谁比较大？甲： 前者大，结余总是有钱多，负债不仅没有钱，还更惨。乙： 后者大，把结余2000元还掉，再还2000元。如果结余2000元记做-2000，
10、负债4000元记做+4000，-2000和+4000谁比较大？,53,算一算：三个小组各得多少分？,第一组：答对7题，答错4题。第二组：答对4题，答错6题。第三组：答对4题，答错5题。,70-40=30,40-60=40-40-20=0-20=-20,40-50=40-40-10=0-10=-10,-20是一个怎样的数？,计算步骤：拆数；抵消；去0.,54,算一算：三个小组各得多少分？,第一组：答对7题，答错4题。第二组：答对4题，答错6题。第三组：答对4题，答错5题。,70-40=40-40+30=0+30=+30,40-60=40-40-20=0-20=-20,40-50=40-40-10
11、=0-10=-10,-20是一个怎样的数？,计算步骤：拆数；抵消；去0.,55,历史上的负数（四）：理论上确立的负数,对有序数对（a，b）（a，b）的直观意义就是a-b，当ab时，（a，b）是正数；当ab时，（a，b）是负数；当a=b时，（a，b）为0。这就是正负数在数学理论中的定义。,本课就是用这样的方法讲正负数,56,1,2,3,4,+2.5,0,-1,-3,-2,-2.5,能不能把负数也表示出来？,回到源头。用减法和相反意义的数解释数轴的合理性。,57,1,2,3,4,+2.5,0,-1,-3,-2,-2.5,能不能把负数也表示出来？,“-1”与“-2”哪个比较大？,回到源头。用减法解释
12、正负数的大小。,58,1,2,3,4,+2.5,0,-1,-3,-2,-2.5,数轴上数的大小排列有什么规律？,越来越大,越来越小,59,小学数学教师特稿“数方夜谈”,60,某仓库运进面粉7.5吨，运出3.8吨。选（ ）为正，运进面粉7.5吨记作（ ），运出3.8吨记作（ ）。商店三月份盈利50万元，四月份亏损6万元。选（ ）为正，三月份盈利50万元记作（ ），四月份亏损6万元记作（ ）。小明向东运动50米，小华向西运动40米。选（ ）为正，小明向东运动50米记作（ ），小华向西运动40米记作（ ），小刚原地不动记作（ ）。,选一种量为正，用正负数表示题中的量,运进,+7.5,-3.8,盈利,
13、+50,-6,向东,+50,-40,0,向西,-50,+40,0,正负数表示的符号选择与加减法意义相统一。,61,我们可以：把结余2000元记做+2000，负债4000元记做-4000。我们也可以：把结余2000元记做-2000，负债4000元记做+4000。,你感到别扭吗？,62,如果把一个人先向东走3m记作+3m，那么这个人又向东走-4m是什么意思？这时他距离出发点有多远？在直线上表示出来。,0,1,2,3,4,5,6,7,8,-1,-2,-3,-4,-5,-6,63,父亲56岁，其子29岁。何时父亲年龄是儿子的2倍？,列方程：56+x=2（29+x）,德摩根（Augustus de Mo
14、rgan） 1806-1871英国代数学家,2年前父亲的年龄是儿子的2倍。,设x年后父亲年龄是儿子的2倍。,56+x=58+2x,56=58+x,0=x+2,x=0-2,即x=-2,答：-2年后父亲的年龄是儿子的2倍。,64,父亲56岁，其子29岁。何时父亲年龄是儿子的2倍？,列方程：56-x=2（29-x）,刚才的解释是正确的！,设x年前父亲年龄是儿子的2倍。,56-x=58-2x,56+x=58,x=58-56,x=56-56+2,x=0+2,x=+2即x=2,65,父亲56岁，其子29岁。何时父亲年龄是儿子的2倍？,列方程：56+x=2（29+x）,德摩根（Augustus de Mor
15、gan） 1806-1871英国代数学家,要不要再另列方程解？,设x年后父亲年龄是儿子的2倍。,56+x=58+2x,56=58+x,0=x+2,x=0-2,即x=-2,答：2年前父亲的年龄是儿子的2倍。,66,提出用减号“”表示负数和减法运算，用加号“+”表示正数和加法运算，他的提议很快得到人们的公认，并一直沿用至今。,吉拉尔（AGirard）1595-1632法国数学家,他的提议为什么会很快得到人们公认呢？,性质符号和运算符号统一。,67,正数与负数是意义相反的数,在现实生活中经常被用来表示意义相反的量。,不是从生活到数学，而是从数学到生活。第一次逆转！,68,大道理：有理数集的本质,全体
16、有理数整数和分数，仍然满足结合律、交换律和分配律，而且关于x的方程 a+x=b,ax=b 总有唯一解。换句话说，在有理数范围内，所有的有理运算加减乘除可以无限制进行，而决不会超出这个范围，这样一个数集叫做一个域。,这是对有理数集的本质刻画！要紧紧抓住！,69,你如何解释除数不能为0？,把12个苹果平均分成0份，每份有几个？把12个苹果，每0个苹果分1份，可以分成多少份？这样解释行吗？不行！不能用生活实例来解释，要从纯粹数学运算的角度来解释。,70,已知ax=b（a、b为任意自然数）是关于x的方程，要使x有唯一确定的解，需满足什么条件？,分类讨论：当a=0，b=0时，x有无数解；当a=0，b0时
17、，x无解；当a0，b=0时，x有唯一解为0；当a0，b0时，x有唯一解为b/a.规定：除法的除数、比的后项、分数的分母不能为0。为什么？,71,你如何理解分数等的“基本性质”？,12x=9 4x=3 x=3/4x=912 x=34 x=3/4x=912 x=34 x=3/4x=9/12 x=3/4等式性质、商不变性、比的性质、分数基本性质相互联系，可以归结为等式性质。 0.2=0.202/10=20/100,72,ax=b，x=？（a、b为整数）,x是真分数，x1。,x是假分数，x1。,x是整数,x可化成带分数,x是最简分数,x不是最简分数，通常要化成最简分数或整数,x可表示成有限小数,x可表
18、示成无限循环小数,ax=b：整数、分数与小数,73,大道理：数学来源的多样性与多元表征,长方形长4/5米，宽2/3米，面积是多少平方米？,b/ad/c,=（ ba）（dc）,= badc,= bdac,= bd（ac）,= （bd）/（ac）,面积是 （ ） （ ） 平方米。,4/5米,4 5 2 3 = 42 53 = 8 15,74,看到这个算式，你想到了什么？,4 5 2,想到“小数整数”,想到“平均分”,想到“分数乘法”,想到“除法是乘法的逆运算”,想到“分数的意义”,想到“分数与除法关系”,大道理：数学来源的多样性与多元表征,75,画图：4个1/5平均分成2份，每份2个1/5。画图：
19、4个1/5平均分成2份，每份是4/5的1/2。4/52=0.82=0.4=2/54/52=452=4（52）=4/（52）=4/10=2/52x=4/5x=？x=4/52。两边1/2，2x1/2=4/51/2，x=4/51/2。所以4/52=4/51/2。4/52=（4/51/2）（21/2）= 4/51/2,大道理：数学来源的多样性与多元表征,76,大道理：数学联系的紧密性与核心概念,苹果单价12元/千克，比桔子贵1/3，桔子单价多少元？,12（1+1/3）=124/3=123/4=12（1-1/4）=1243,苹果是桔子的4/3桔子是苹果的3/4桔子比苹果少1/4平均分,77,大道理：数学联系的紧密性与核心概念,一根竹竿第一次截去1/3，第二次截去1/4，一共截去1.4米，这根竹竿全长多少米？,1.4（1/3+1/4）=1.4（4/12+3/12）=1.47/12=1.412/7=2.4,78,
