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1、1,3.6 分 离 变 量 法,基本思想:,方 式：,所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。,把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数。,代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程。,分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中的待定常数，从而得到位函数的解。,应 用：,求解二维拉普拉斯方程的边界问题。,2,如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中的分离变量法。,1. 直角坐标系中的分离变量法,在直角坐标系中的展开式为,令,代入上式，得,无源区中电位满足的拉普拉斯方程为,两边再除以 X(x)Y(
2、y)，得,只与x有关,只与y有关,3,此常数写成 。,式中 k 称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有不同的形式。,由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。,要使上式成立，式中每一项都必须为常数。,当 k = 0 时，二常微分方程的解为,4,当 k 0 时，二常微分方程的解为,双曲函数,含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解。,式中 A, B, C, D 为待定常数。,为满足给定的边界条件，分离变量k 通常取一系列特定
3、的值 kn （n=1，2，）。,5,位函数 的通解为,若令 代替,，可得另一形式通解,解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。,6,例 横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 的金属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试求此导体槽内的电位分布。,解: 导体槽在 方向为无限长，槽内电位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。,（导体槽内D域）,7,由于槽内电位 和 ，则其通解形式为,代入上式，得,为使上式对 在 内成立，则,则,代入上式，得,8,为使上式对 在 内成立，则,则,代入上式，得,其中 不能为零，否则 ，
4、故有,得,9,为使上式对 在 内成立，且 则,则,代入上式，得,10,为确定常数 ，将 在区间 上按 展开为傅里叶级数，即,导体槽内电位函数为,11,导体槽内电位分布情况为,12,（D域内）,例一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。,解：选定直角坐标系,13,例 由四块沿轴方向放置的金属板围成的矩形长槽，四条棱线处有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。,解: 设金属板沿 方向为无限长，槽内空间的电位函数满足直角坐标系中的二维拉普拉斯方程。,（矩形槽内）,14,2. 圆柱坐标系中的分离变量法,电位微分方程
5、在圆柱坐标系中的展开式为,令其解为,代入上式求得,上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项与 无关，因此二项均应为常数，令,具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。,15,即,式中k为分离常数,16,通常变量 的变化范围为 ，那么位函数随 的变化一定是以 2 为周期的周期函数。因此分离常数 k 一定是整数，以保证函数的周期为2。即 且 ，则通解为,圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：,17,3. 球坐标系中的分离变量法,电位微分方程在球坐标系中的展开式为,令,代入上式，得,与前同理， 的解应为,具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。,18,可见，
6、上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令,式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为,将此结果代入上式，得,19,令 ，则上式变为,上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数 与第二类连带勒让德函数 之和，这里 m n 。,当 n 是整数时， 及 为有限项多项式。因此，要求 n 为整数。,根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时， 。因此，当场存在的区域包括 或 时， ，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令,20,那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合,若静电场与变量 无关，则 m = 0 。那么 称为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为,21,球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于球外场强。球内外的电场线如图示。,
