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1、介绍,有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种数值方法。为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值离散解。,1、差分与差商,用差分代替微分，是有限差分法的基本出发点。这一点由微分原理保证的，当自变量的差分趋于零时，差分变成微分,差分与
2、差商,前向差分 后向差分 中心差分,差分与差商,通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶导数的逼近度可由泰勒公式展开 两式相减,差分与差商,前向、后向差分截断于 ，具有h的一阶精度，而中心差分法截断于 ，具有h的二阶精度，中心差分的精度比较高。函数f（x）的二阶导数,前向差分,前向差分,差分与差商,对偏导数，可仿照上述方法，将表示为：,差分格式,二维Possion方程差分格式有限差分法的网格划分，通常采用完全有规律的分布方式，这样可使每个离散点上得到相同形式的差分方程，有效的提高解题速度。对能填满平面域的三种规则网格（正方形，正三角形和正六边形）的划分方式，经常采用的是正方形网格划分，,差分
3、格式,一阶偏导数差分格式可采用待定系数的方法，提高差分格式的精度，它的思路： 1、3结点与0结点在x方向的差分用泰勒公式展开，它们各自占有一定的权系数，以截断误差来计算系数,差分格式,忽略h3以上的高次幂的项，并且令 项的系数为零，这样处理可以保证得到的差分格式误差为h3量级。系数为零的条件 求出二阶精度精度为一阶偏导数差分格式,差分格式,二阶偏导数的差分格式 令方程右边的一阶偏导数的系数为0，得到系数间的表达式代入上式得到精度为O(h3)的二阶偏导数的差分格式,差分格式,当 时，上式可以简化为Possion方程五点差分格式,不同媒质分界面上的差分格式,分界面与网格线重合的情况两式中 和 是假
4、设“虚”电位，可以利用分界面上场量遵循的边界条件，削去它们,不同媒质分界面上的差分格式,其次，假设在分界面上没有自由电荷中心差分格式表示 把前面关于 和 式子代入上式,不同媒质分界面上的差分格式,分界面与网格线呈对角线的情况两式中 和 是假设“虚”电位，可以利用分界面上场量遵循的边界条件，削去它们,不同媒质分界面上的差分格式,其次，假设在分界面上没有自由电荷对M、N结点应用线性插值,不同媒质分界面上的差分格式,把前面的 和 代入上式，得网格线呈对角线的差分格式：,定解条件的离散化,第一类边界条件的差分离散化 应用多元函数的泰勒公式，结点1、3的位函数值和可通过 表示为以h和h1分别与以上两式相
5、乘且相加，削去一阶偏导项，然后截断与h的二次项，便得到关于结点0的二阶偏导数的差分格式,定解条件的离散化,同理，在0结点处关于y方向的二阶偏导的差分格式代入给定的泊松方程，得到通常第一类边界条件的差分格式,定解条件的离散化,第三类边界条件的差分离散化 第一种情况，当结点刚好着落于边界线L上时，这还取决于边界结点处的外法线与网格线重合，,定解条件的离散化,外法线与网格线不重合情况，边界结点上的外向法向方向与水平夹角为，其法向导数显然是在x和y方向的导数在法向的投影组合，,定解条件的离散化,第二种情况，当结点不落于边界线L上时，只需要引入于结点0相关的边界结点O，点的外方向n作为结点0处的“外方向
6、n”，且近似地认为边界条件中给定的函数和均在O点上的取值。这样，此种情况下的第三类边界条件的离散格式于式相似，,定解条件的离散化,第二类边界条件的差分离散化 第二类齐次边界条件为第三类边界条件的特殊情况，即。我们这里讨论最常见的一种情况 加一层虚拟边界上面也是对称边界条件的离散公式,有限差分法的求解,综上所述，对场域D内各结点（包括所有场域内结点和边界结点）逐一列出对应的差分计算格式，即构成以这些离散结点上的位函数 为待求量的差分方程组（代数方程组）。求解这些代数方程组，得到场域中的电位值 计算步骤通常是：离散场域，采用一定的网格剖分方式离散化计算区域。离散化场方程，即基于差分原理的应用，对场
7、域内场的偏微分方程以及定解条件进行差分化处理，得到方程的差分格式。计算离散解，建立的差分格式（与原定解问题对立的离散数学模型代数方程组），选用合适的代数方程组解法，编写相应的计算程序，算出待求的结点上场值。,有限差分法的求解,有限差分法格式特点,仔细分析离散的差分方程组，例如泊松方程，从离散方程式不难看出，该方程组的系数一般是有规律的，且方程都很简单，每个方程的项数不多（待求量最多不超过5项） 各离散结点上的方程组形式（结点顺序按坐标先从y轴增加、再x轴增加（从下到上、从左到右，即先列后行）排列,有限差分法格式特点,有限差分法格式特点,写成矩阵方程形式,有限差分法格式特点,可以看出系数矩阵由如
8、下特点：系数矩阵是稀疏矩阵，只有少数元素不为零。系数矩阵在一定边界条件下（边界与结点重合且场域边界类型都一样），是对称正定矩阵。系数矩阵是的方阵，大小为场域中离散结点的总数目Nx*Ny。,超松弛迭代法,求解具有稀疏系数矩阵的大型差分方程组，其中最优的就是超松弛迭代法（Successive Over Relaxation，SOR）。为了说明SOR方法，首先介绍雅可比法和高斯-赛德尔法 雅可比法（Jacobi）就是要使迭代值能精确的满足前一次各点的电位值所能表示的差分方程,超松弛迭代法,高斯-赛德尔法是雅可比法的改进方法，主要针对减少内存消耗，只需存储一组完整的数组。它采取的措施是对每一次迭代尽量
9、采用最新计算的值来替换上一次迭代的旧值。结果收敛速度比雅可比法快一倍。,超松弛迭代法,逐次超松弛法是对高斯-赛德尔法的改进，该方法的核心是借助于一收敛因子w作用到高斯-赛德尔迭代公式。当时w1，就回到高斯-赛德尔法。当w2时，迭代过程变得及其不稳定。只有1w2，才能提高收敛速度。,超松弛迭代法,正方形第一类边界条件时 长方形第一类边界条件时,场强与电、磁积分量的计算,通过上述差分方程组的求解，在获得场域内各结点上待求位函数后，往往还需求场中的场强分布，以及其他有关的积分特性（如磁通量和磁导、电导、电容等磁路及电路参数等）。,场强与电、磁积分量的计算,无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其通量可
10、一般地表示为 所分析的静电场中的电容C、恒定电流场中的电导G或恒定磁场中的磁导等电路或磁路参数P就可按下式计算,典型算例分析,设长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位的相对值为10。试求槽中间电位分布,典型算例分析,、场问题分析。直角坐标系，槽内电位函数满足Laplace方程，构成如下的第一类边值问题,典型算例分析,、离散场域。用简洁的正方形网格对场域D各方向进行等分剖分p，q、场域内差分格式。采用Laplace五点差分格式,典型算例分析,、超松弛迭代计算。用超松弛迭代法计算差分方程 、边界条件。本例给定为第一类边值，边界条件的差分离散化应直接赋值方式,典型算例分析,、初值。取零初值、收敛条件指标。规定当网格内点的相邻两次迭代近似值的绝对误差的绝对值小于给定精度时，终止迭代。,典型算例分析,计算流程,
