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1、2022/12/20,1,3.4 DFT的应用举例,3.4.1 用DFT计算线性卷积1. 循环卷积定理： 如果：,则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1,0kL-1,3.4.1 用DFT计算线性卷积1. 循环卷积定理： 如果：,2022/12/20,2,循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计算，而DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度要快的多，故常用DFT来计算循环卷积。,图 3.4.1 用DFT计算循环卷积,2022/12/20,3,2.线性卷积的计算： 希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此导
2、出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有限长序列， 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：,(3.4.1),(3.4.2),其中， LmaxN, M，,2022/12/20,4,对照式(3.4.1)可以看出， 上式中,(3.4.3),循环卷积 是线性卷积 以循环卷积点数L为周期的周期延拓序列的主值序列。循环卷积长度：L; 线性卷积长度：N+M-1; 只有当循环卷积 的长度LM+N-1时，以L为周期进行周期延拓才无混叠现象。此时，取主值才有线性卷积和循环卷积相等的条件： LM+N-1,2022/12/20,5,2022/1
3、2/20,6,图 3.4.3 用DFT计算线性卷积框图,当循环卷积的长度LM+N-1 时，线性卷积和循环卷积相等，这时，可用DFT来计算线性卷积，框图如下：,2022/12/20,7,图 3.4.2 线性卷积与循环卷积,2022/12/20,8,3.4.2 用DFT对信号进行谱分析 1 用DFT对连续信号进行谱分析目的：时域频域都离散化，便于计算机处理。 连续信号xa(t) 连续函数Xa(j) 离散信号xa(nT) 离散信号X(k)X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ej)在频率区间0，2上的N点等间隔采样。这里x(n)和X(k)均为有限长序列。,FT,DFT,2022/12/20,9,用DF
4、T对信号进行谱分析是一个近似的过程：FT要求：“时域有限，频域无限”； “频域有限，时域无限”；DFT要求：时域频域均有限。工程上经过预处理：频谱很宽的信号，预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。对于持续时间很长的信号，截取有限点进行DFT。用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。,矛盾,2022/12/20,10,2.用DFT对连续信号进行谱分析的过程：,x(n)d(n),信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换,2022/12/20,11,2022/12/20,12,假设xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。
5、已知连续信号xa(t)持续时间为Tp，最高频率为fc。1）、将xa(t)采样，即，等间隔(T)分段,2)、将x(n)截短， ，共N个采样点由于时域采样周期为T，则由时域采样定理，频域产生以s=2fs=2/Ts为周期的周期延拓。如果xa(t)是带限信号，则采样信号的频谱不会产生混叠，周期为s=2/Ts，取其中的一个周期的FT，则（2）变为：,2022/12/20,13,3)、频域采样，一个周期s分N段，采样间隔为0，且 ,F称为频率分辨率则，公式（3）、（4）分别为：,2022/12/20,14,2022/12/20,15,重写(5)、(6)如下：上式即是由DFT求连续非周期信号的傅里叶变换的采
6、样值的近似计算公式,2022/12/20,16,2022/12/20,17,3.谱分析过程中的参数选择：TP：xa(t)的持续时间； fc：xa(t)的最高频率T或TS： 时域采样间隔； N：采样点数fs：时域采样频率 F：频域采样间隔（频率分辨率）1.各参数之间的关系：,2022/12/20,18,谱分析范围和频率分辨率：谱分辨率F=fs/N，如果保持采样点数N不变，要提高频谱分辨率(减小F)，就必须降低采样频率，采样频率的降低会引起谱分析范围变窄和频谱混叠失真。如维持fs不变，为提高频率分辨率可以增加采样点数N，因为只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加N。Tp和N可以按照下面两式进行选择
7、：,2022/12/20,19,【例 3.4.2】 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间Tp min，最大的采样间隔Tmax，最少的采样点数Nmin。如果fc不变，要求谱分辨率提高1倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少？解因此Tp min=0.1 s。因为要求fs2fc，所以,2022/12/20,20,为使用DFT的快速算法FFT，希望N符合2的整数幂，为此选用N =512点。为使频率分辨率提高1倍，即F=5 Hz，要求：用快速算法FFT计算时，选用N=1024点。 上面分析了为提高谱分辨率，又保持谱分析范围不变，必须增长记
8、录时间Tp，增加采样点数。应当注意，这种提高谱分辨率的条件是必须满足时域采样定理，甚至采样速率fs取得更高。,2022/12/20,21,2022/12/20,22,4 用DFT进行谱分析的误差问题 (1) 混叠现象。 对连续信号进行谱分析时，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用DFT(FFT)进行谱分析。采样速率fs必须满足采样定理，否则会在=(对应模拟频率f=fs/2)附近发生频谱混叠现象。这时用DFT分析的结果必然在f=fs/2附近产生较大误差。因此，理论上必须满足fs2fc(fc为连续信号的最高频率)。 措施： 对fs确定的情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率fs/2的频
9、率成分，以免发生频率混叠现象。 ,2022/12/20,23,(2) 栅栏效应。 N点DFT是在频率区间0，2上对时域离散信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数是看不到的。这就好像从N个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到N个缝隙中看到的频谱函数值。因此称这种现象为栅栏效应。由于栅栏效应，有可能漏掉(挡住)大的频谱分量。,2022/12/20,24,改进：为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，对有限长序列，可以在原序列尾部补零；对无限长序列，可以增大截取长度及DFT变换区间长度，从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。对连续
10、信号的谱分析，只要采样速率fs足够高，且采样点数满足频率分辨率要求，就可以认为DFT后所得离散谱的包络近似代表原信号的频谱。,2022/12/20,25,截断效应。对x(n) 截断,形成有限长序列w(n)称为窗函数，长度为N。w(n)=RN(n), 称为矩形窗函数。根据傅里叶变换的频域卷积定理，有,2022/12/20,26,其中对矩形窗数w(n)=RN(n)，有幅度谱Wg()曲线如图3.4.12所示(Wg()以2为周期，只画低频部分)。图中，|2/N的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣。,图3.4.12 矩形窗的幅度谱,2022/12/20,27,例如，x(n)=cos(0n)，0=/4, 其频
11、谱为截断前、后的幅频曲线如下图所示：,泄漏谱间干扰,2022/12/20,28,由上述可见，截断后序列的频谱Y(ej)与原序列频谱X(ej)必然有差别： (1) 泄露。 由图可知，原来序列x(n)的频谱是离散谱线，经截断后，使原来的离散谱线向附近展宽，通常称这种展宽为泄露。显然，泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低。频谱泄露程度与窗函数幅度谱的主瓣宽度直接相关，在第7章将证明，在所有的窗函数中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。,2022/12/20,29,(2) 谱间干扰。 在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰(简称谱间干扰)，特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，
12、或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一频率的信号的谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大偏差。 ,2022/12/20,30,改进措施：由图3.4.12可以看出，增加N可使Wg()的主瓣变窄，减小泄露，提高频率分辨率，但旁瓣的相对幅度并不减小。为了减小谱间干扰，应用其它形状的窗函数w(n)代替矩形窗(窗函数将在FIR数字滤波器设计中介绍)。但在N一定时，旁瓣幅度越小的窗函数，其主瓣就越宽。所以，在DFT变换区间(即截取长度)N一定时，只能以降低谱分析分辨率为代价，换取谱间干扰的减小。 ,图3.4.12 矩形窗的幅度谱,2022/12/20,31,栅栏效应与频率分辨率是两个不同的概念：如果在长
13、度为N的序列后补N个零，再进行2N点DFT，使栅栏宽度减半，从而减轻了栅栏效应，得到高密度谱。但是这种截短后补零的方法不能提高频率分辨率。因为截短已经使频谱变模糊，补零后仅使采样间隔变小，但得到的频谱采样的包络仍是已经变模糊的频谱，所以频率分辨率没有提高。因此，要提高频率分辨率，只有通过增加信号的有效持续时间Tp，来增加采样点数，才能得到高分辨率谱。,总结：谱分析的步骤,首先，确定信号抽样频率fs 满足时域抽样定理，即： fs 2fc，T =1/fs 1/2fc （1）然后，确定抽样信号的长度N N 应满足频率分辨率f 的要求，即： N fs/f （2）最后，根据谱线间隔fd 确定DFT的点数
14、L ，即： L fs/fd （3） L 一般取满足式2的整数幂次。,2022/12/20,32,结合实例进行频谱分析实例1：已知一连续信号为其中f0=100HZ，f1=130HZ。现以频率fs=600HZ对该信号进行抽样，试利用DFT分析其频谱。分析：首先，信号最高频率f1=130HZ，采样频率fs=600HZ，满足采样定理要求；然后，信号的相邻两个谱峰间隔fd =f1-f0 =30， L fs/fd =600/30=20（个）,2022/12/20,33,2022/12/20,34,实例2：已知一连续信号为其中f0=50HZ，f1=100HZ。现以频率fs=400HZ对该信号进行抽样，试利用
15、DFT分析其频谱。分析：首先，采样频率满足抽样定理；其次，由于信号中有较弱的频率分量f1，如果用矩形窗截断，则由于旁瓣泄漏较大，很难检测出较小的频率分量f1，因此，选用Hamming窗。最后，信号的相邻两个谱峰间隔：fd =f1-f0 =50， 采样点数：L fs/fd =400/50=8（个）,2022/12/20,35,2022/12/20,36,5. 用DFT对有限长序列进行谱分析因此，,2022/12/20,37,6. 用DFT对周期序列进行谱分析设 是周期为N的周期序列，1）截取主值序列 ，并进行N点DFT得到其离散谱 ，即：2）由DFT与DFS的关系：3）对比周期序列的FT表达式与DFS的关系式：,2022/12/20,38,图a： 是矩形序列R4(n)以8为周期进行周期延拓的序列;图b：序列 ，即 ，对图a取主值，然后进行8点DFT；图c：周期序列 ，即，频谱 的周期延拓；图d：周期序列的FT表达式,2022/12/20,39,
