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1、第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形二、方程组的情形三、小结,一、一个方程的情形,引例:已知 确定 , 求,一般地 , 可确定可导函数 , 如何求导?,隐函数的求导公式,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,前述引例:,就可确定可导函数 , 且,例1. 验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个单值可导隐函数,解: 令,连续 ;,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在点 (
2、0,0)的某邻域内方程存在单值可,且,并求,解,令,则,解,法一,则,令,法二 方程两边对x求导,视y为x的函数:,解,2. 推广到三元以上,解法一：用公式法,解法二：两边同时对 x (或 y )求偏导,解法三：用全微分形式不变性,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,3. 求隐函数的高阶偏导数,求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种：,二、方程组的情形,解1,直接代入公式.,解2,运用公式推导的方法.,将所给方程的两边分别对 求导，视,例3 : 设 y = g ( x , z ) , 而 z 由 f ( x z, x y )= 0 所确定 , 求,解:这类问题可看成是由两个方程确定了y = y ( x ) , z = z ( x ) , 用方程组确定的隐函数求导法.,利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式.,例、 证明方程 确定 的满足 ，其中 为可微.,利用隐函数求导，可证明偏导数满足给定的关系式.,例: 设,分析: 该方程组确定方程组两边分别对x求偏导,可求得,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,四、小结,思考题,思考题解答,
