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1、第十一章 曲线积分,一、对弧长的曲线积分的概念,1. 定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分,2.存在条件：,3.推广,4.性质,5、对弧长曲线积分的计算,定理,注意:,例1,解,例2,解,例3,解,例3,解,由对称性, 知,练习题,练习题答案,二、对坐标的曲线积分的概念,定义: 函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标 x 的曲线积分,类似地定义,2.存在条件：,3.组合形式,4.推广,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,6、对坐标的曲线积分的计算,定理,例1,解,例2,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,例3,解,问题：被积函数相同，起
2、点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,(4) 两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,思考题,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,练习题答案,1、区域连通性的分类,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,三、格林公式,2.格林公式,定理1,边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,L,解,(注意格林公式的条件),若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,由两部分组成,外边界：,内边界：,四、第二类曲线积分与路
3、径无关的条件,B,A,1.定义：如果在区域G内有,2.曲线积分与路径无关的条件,定理2,两条件缺一不可,有关定理的说明：,定理3,解,解,四、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,练习题答案,五、对面积的曲面积分,1.定义,2.对面积的曲面积分的性质,3、计算法,则,则,例1,解,解,依对称性知：,练 习 题,练习题答案,六、对坐标的曲面积分,1. 曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,2、概念及性质,类似可定义,存在条件:,组合形式:,性质:,3、计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,解,练 习 题,练习题答案,七、高 斯 公 式,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知,解,(利用柱面坐标得),使用Guass公式时应注意:,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,故所求积分为,练习题,练习题答案,
