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1、平面向量数量积及其坐标表示,一、向量的数量积的定义,（1）向量的夹角定义：,设两个非零向量a和b，作 a， b，,则AOB叫a与b的夹角,其范围是0，,（2）数量积的定义：,其中：,注意（1）两个向量的数量积是数量，而 不是向量. （2）这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。,（3）数量积的几何意义：,.,注：,二、数量积的运算律：,交换律：,数乘的结合律：,分配律：,注意,基础练习,（1） ab =0 a=0或 b=0,1、判断以下命题正确吗？试说明理由。,反之，a=0 ab =0,（2） abac bc,反之， bc abac,（3）,2、 若 ，且 ，则向量 与 的夹角为( ),真
2、命题,真命题,120,这三个尤其重要哦！,三、向量的数量积的性质：,1、已知a、b是非零的平面向量且满足(a 2b) a， (b 2a) b ,则a与b的夹角是( ),2、已知a 、b均为单位向量，它们的夹角是60，那么| a +3b |（ ）,60,基础练习,3、 已知平面上三点A、B 、C 满足 =3 =4， =5，,25,平面向量数量积的坐标表示,1,0,0,1,那么如何推导出 的坐标公式?,解：,这就是向量数量积的坐标表示。由此我们得到：两个向量的数量积等于它们对坐标的乘积之和。,已知：,结论：,公式：,例题分析,例：,练习：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）,求证 ABC是直角三角形.,想一想：还有其他证明方法吗？,证明：,所以ABC是直角三角形,B,1、若 则 与 夹角的余弦值 为 （ ）,2、已知：求证：,3、设a =(m+1) i 3j， b=i+(m 1)j, 且(a + b) (a b) ，求实数m 的值。,
