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1、2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,平面向量的数量积,学习目标：1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义2、掌握平面向量数量积的性质,下面请同学们看课本并思考如下问题：,已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则AOB= （0 180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,1、向量的夹角,（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；（2）范围0a ，b；（3）a ，b=b ，a；（4）a ，b=0时, a、b同向；a ，b=时，a、b反向；a ，b= 90时， a b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.,我们学过功的概念，即一
2、个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,功是标量，它由力和位移两个向量确定。,思考：能否把“功”看成这两个向量的一种运算,我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。,2、向量的数量积的定义,已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积,点乘），即,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0,注: 1、两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定,2、 a b不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算符号“”在向量运算中不是乘号，不能省略.,O,O,O
3、,3、向量数量积的几何意义,思考：,ab=|a| |b| cos,当=0，它就等于b ；,而当=180时，它等于 b 。,重要性质:,特别地,求模的方法,判断垂直的又一条件,求角,练习：,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b= b c，则a=c,6若a b = a c ,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,8、对任意向量a，b，c都有(ab)ca(bc)；,解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2
4、）= 10,例1 ，1、已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,同向时，48反向时，-48,练习. 已知|a|，|b|，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab,ab时， ab =18；ab时，ab=0； a与b的夹角是60时，ab=9.,例2. 如图，ABC为等腰直角三角形，且直角边AB=1，求,解：,又,例3. 已知|a|=3, |b|=5，且ab=12，求a在b方向上的正射影的数量及b在a方向上的正射影的数量。,解：因为,所以a在b方向上的正射影的数量是,b在a方向上的正射影的数量是,练一练：,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,则 (a +
5、 b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc .,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON,证明运算律(3),说明：向量数量积不满足消去律，也就是说：,例 1：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,例4、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a 5
6、b 垂直，a 4 b 与7 a 2 b垂直，求a与b的夹角。,解： （a + 3 b ）（7 a 5 b） （a 4 b ）（7 a 2 b ） （a + 3 b ）（7 a 5 b） =0 且 （a 4 b ） （7 a 2 b ）=0 即 7a a + 16 a b 15 b b =0 7a a - 30 a b + 8 b b =0 两式相减得： 2 a b = b 2，,代入其中任一式中得: a 2= b 2,cos=,练习：,4,3,2,1,|,|,|,|,1,k,b,a,k,b,a,b,a,b,a,r,r,r,r,r,r,r,r,-,+,=,=,的值。,互相垂直，求,也,与,且,、若,2、三角形ABC为正三角形，问：,600,1200,=-3,=-34,=-5,课堂小结：,1、向量的数量积的定义,已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为，我们把数量 叫做 与 的数量（或内积,点乘），即,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0,2、向量数量积的几何意义,课堂小结：,3、向量数量积的性质,4、数量积运算律,课堂小结：,（交换律）,（数乘结合律）,（分配律）,24,135,钝角,直角,0,20,六、作业,课本P108A组第1，2，6，7,谢谢大家！,
