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1、3 平面曲线的弧长,4 旋转曲面的面积,1平面图形的面积,5 定积分在物理中的应用,2 由平行截面面积求体积,小结与习题,第十章 定 积 分的应用,6 定积分的近似计算,一、直角坐标系情形,二、参数方程,1平面图形的面积,三、极坐标系情形,复习: 定积分的几何意义,曲边梯形的面积:,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形,y=f(x),a,b,0,x,y,怎样求面积呢？,A,-A,A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积,a,b,a,b,y=f(x)0,y=f(x)0,x,x,y,y,0,0,A,A,2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图,结论：,几何意义,a,b
2、,x,y,y=f(x),0,应用,例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,
3、x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。,讲授新课:,直角坐标系,曲边梯形的面积,一、直角坐标系情形,曲边梯形的面积,讨论： 由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、 y=d所围成的图形的面积 S 如何求？,答案：,下页,由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,则椭圆的面积为,下页,由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,解：设椭圆
4、在第一象限的面积为S1，,解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。,S =2 ,下页,例3 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积。,解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。,首页,=18。,参数方程,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,二 参数方程,椭圆的参数方程,解,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,三、极坐标系情形,曲边扇形的面积,面积元素,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,例7,解：,两边同时对 求导,积分得,所以所求曲线为,回顾,曲边梯形求面积的问题,补充:定积分的元素法,面积表示为
5、定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,平面图形的面积,如何用元素法分析？,平面图形的面积,如何用元素法分析？,第二步：写出面积表达式。,平面图形的面积,如何用元素法分析？,平面图形的面积,如何用元素法分析？,平面图形的面积,第二步：写出面积表达式。,如何用元素法分析？,选 为积分变量,解,两曲线的交点,面积元素,微元法求平面图形的面积举例,选 为积分变量,解,两曲线的交点,于是所求面积,选 为积分变量,两曲线的交点,解,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,三、小结,作业: P242 1-6,
