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1、引言 主要研究随机过程的一般概念及其统计特征 信息的获取、变换、传输或处理，实质上信号通过各种系统 遥感图像获取 有线通信 卫星通信 自由空间光通信 电子元器件 系统分为线性系统和非线性系统 线性系统：线性放大器，线性滤波器 非线性系统：调制器，限幅器,图 4-1 信号经过系统,图4-2 卫星遥感,图4-3 遥感 图像,第四章 随机信号通过线性系统,线性系统基本理论随机信号通过线性系统白噪声通过低频线性系统独立随机过程之和的自相关函数定理散弹效应噪声热噪声,4.1 线性系统基本理论,输入信号 与输出信号 为确定信号。 一、一般线性系统,图 4-4 线性系统,1、线性系统定义 如果系统的输入 之
2、和的响应等于系统对单个响应 的相应线性组合，即其中， 为任意常数， 是正整数。,包含有两层含义：比例性:可加性:,2、线性系统响应由冲击函数性质则令则定义 为线性系统的冲击响应。,能完全表述系统,二、线性时不变系统1、定义：若线性系统响应与系统作用的时刻无关，即有 则此线性系统为线性时不变系统。2、线性时不变系统的相应,3、线性时不变系统的传输函数 是冲击响应 的傅立叶变换；任一线性时不变系统，响应的傅立叶变换等于输入信号与系统响应傅立叶变换的乘积。,4、线性时不变系统分类（1）、连续时不变线性系统（2）、离散时不变线性系统,4.2 随机信号通过线性系统分析,对于输入信号 为确知信号，线性时不
3、变系统 的响应随机信号 不是确知信号，但其中的样本函数 是一确知函数；样本函数 通过线性时不变系统 ，响应,随机信号 是诸多样本函数 的集合，其输出响应 就应是诸多样本函数响应 的集合，仍然是随机信号。随机信号通过线性时不变系统的响应为,一、时域分析法：系统响应的矩分析已知输入随机信号的统计特性，要求能够得到系统输出的统计特性；在获取系统输出随机信号的统计特性时，希望得到输入随机信号的统计特性。1、输出的均值,输出均值 是输入随机信号均值 与线性系统的冲击响应 的卷积；当随机信号为宽平稳时，有 则输出均值 系统输出随机信号的均值也是与时间无关的常数。,2、输出的均方值当系统输入 为宽平稳时，有
4、则,当 为平稳白噪声时，有则输出的总平均功率除正比于白噪声的功率谱密度外，还正比于冲击响应 平方曲线的面积。,3、系统输出的自相关函数当随机信号 是宽平稳时，有则,结论：当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变系统，其输出信号也是宽平稳的；当一个严平稳随机信号输入到线性时不变系统，其输出信号也是严平稳的；当一个各态历经随机信号输入到线性时不变系统，其输出信号也是各态历经的。令,冲击函数的自相关函数。,则 当输入信号 是宽平稳随机信号时，输出信号 的自相关函数 是输入信号的自相关函数 与系统冲击函数 的自相关函数 的卷积。,因为则 是 和 的相关积分。,4、系统输入与输出的互相关函数当系统输入为宽平
5、稳信号时，有则同理,当输入是宽平稳时，输入与输出是联合平稳的。,显然,例4-1 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路，试求出输出 的均值、均方值、自相关函数和互相关函数。 解：该电路的单位冲击响应为则,二、频域分析法：系统响应的谱特性随机信号的自相关函数、互相关函数的傅立叶变换分别为功率谱和互功率谱；在频域，系统对相关函数的响应是对功率谱的响应，也就是输出的功率谱特性。1、系统输出的功率谱密度函数系统输出两边取傅立叶变换,系统功率传输函数,系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密度与系统功率传输函数乘积；系统输出的功率谱密度只与系统的幅频特性有关，而与相频特性无关。2、系统输入与输出的互功率谱密
6、度,例4-2 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路，试求出输出 的功率谱密度函数。 解：该电路的传输函数为 输入的功率谱函数 输出的功率谱函数为,4-3 白噪声通过低频线性系统,随机信号(或宽平稳随机信号)通过一般非时变线性系统后输出信号的统计特性和频率特性；特殊随机信号白噪声；特定非时变线性系统低频线性系统；白噪声通过特定低频线性系统后输出信号的统计特性和频率特性；,一、白噪声通过理想低通网络输出 的功率谱密度为,输出 的自相关函数为令 ， 称为角频率半带宽， 称为频率半带宽。,输出噪声平均功率输出噪声功率与滤波器的带宽成正比，增加滤波器带宽，输出噪声功率就会增加，信噪比降低。输出 的自相
7、关时间输出随机信号的自相关时间与带宽成反比。,二、白噪声通过R-C低通网络输出的功率谱密度为,输出的平均功率为输出功率与 成正比， 是系统带宽的测度。输出的自相关时间：,三、低通网络的等效噪声带宽,RC低通网络,图4.9 低通网络的等效带宽,输入白噪声时，两网络输出功率相同。,白噪声通过低通网络输出功率谱输出平均功率白噪声通过理想低通网络输出平均功率,令输入白噪声时，两网络输出功率相等,例4-3 求R-C低通网络的噪声等效带宽Bf，并与输出随机信号的等效功率谱带宽 比较。解：噪声等效带宽自相关时间和等效功率谱带宽,4-4 独立随机过程之和的自相关函数,雷达接收机的内部噪声散弹噪声x1；热噪声x
8、2 ；。中心极限定理 正态分布 自相关函数？,设有其中， 相互独立的平稳随机过程。 个二阶项 ； 个相同序号的二阶项 ； 个交叉二阶项 。,对相同序号的二阶项求数学期望： 对交叉二阶项求数学期望：当Xi为平稳随机过程，有则 自相关函数,独立的平稳随机过程之和的自相关函数，等于各分过程的自相关函数之和，加上总和过程的数学期望的平方，减去各分过程的数学期望的平方的全部之和。 讨论：当 ，即无直流分量时 多个独立、零均值、平稳随机过程之和的自相关函数或功率谱密度函数，等于各自相关函数或功率谱密度函数之和。,当 ，即有分量直流电平时当 时有总和过程的平均功率不等于分量平均功率之和。,噪声：物理系统中在
9、信号传输与处理起扰乱作用，而又不能完全控制的一种不需要的扰动。噪声分为系统外部噪声和系统内部噪声：接触不良、点火；闪电、电爆；散弹噪声、热噪声。,4-5 散弹效应噪声,4.5.1 随机脉冲的自相关函数1、脉冲 ：有始有终的确定时间函数。脉冲自相关函数 ：,自相关函数 的傅立叶变换： 称为 的能量谱密度函数。巴赛伐定理：,2、随机脉冲随机脉冲 具有一个完整的确定形状，除了出现时间是随机以外，再没有内在的随机性。随机过程 总可分解为许多基本的、独立的随机脉冲 的叠加。 电子器件的电流 是由大量随机出现的载流子流动电流 的累积 ， 称为随机脉冲。,4.5.2 坎贝尔定理当一个形状确定的随机脉冲在时间
10、轴上出现的几率为等概率时，该随机脉冲具有平稳各态历经过程的性质。 ，其中 是相互独立的平稳随机过程对于确定形状的随机脉冲，除出现时间随机，极性（如正负脉冲）和强度也有一定的随机。,形状、极性和强度完全相同 假设单位时间内脉冲的平均个数为 ，那有 ，则各分量 的自相关函数 各分量自相关函数之和：,由于各分量 的形状、极性和强度完全相同，则 由于 是有限宽度的脉冲，积分 收敛，记为 ，则各分量数学期望和的平方：,各分量数学期望平方的和:则随机过程 的自相关函数为由于各分量具有同极性，则,(2) 各脉冲分量 形状和极性相同，但强度不相同 假设 有两种强度不同的脉冲 和 ，且 的强度为 ，单位时间平均
11、出现数为 ； 的强度为 ，单位时间平均出现数为 ； 是它们的公共形状因子，即 则其自相关函数为,则随机过程 的自相关函数为当有J种不同强度 的脉冲由于 ，令 ，则,(3) 各脉冲分量 形状相同，极性和强度不相同 假设正负脉冲的概率相同，有 ，则随机过程 的自相关函数为 总之,坎贝尔定理的时域形式,随机过程 的功率谱密度函数(1) 形状、极性和强度完全相同,(2) 各脉冲分量 形状和极性相同，但强度不相同(3)各脉冲分量 形状相同，极性和强度不相同,4.5.3 散弹效应噪声 散弹效应噪声可认为是大量载流子电流叠加而成，各载流子电流形状、极性及强度都相同。 则噪声电流 平均总电流 其中 总电流的自
12、相关函数,记 ，则 对于零均值噪声 ，则噪声电流的功率谱函数为其中 脉冲 持续(电子渡越)时间很窄， 可认为是在一定频率范围 内的带限白噪声。,散弹噪声的带宽,随时间 ( )增加而迅速减小，但 在一定 内变化并不大， 。如当 ， 与 相差不到1%。电子渡越时间 ，则噪声带宽,4-6 热噪声,能量等配定律：在温度T0下，一个系统的热运动能量对每个自由度来说，平均值是相同的，恒为 ， 是玻尔兹曼常数，,图 4.12 电阻热电压,4.6.1 热噪声的乃奎斯特定理 乃奎斯特定理：在温度T下，电路元件都无热噪声，而将热噪声等效于与电阻R串联的，功率谱密度函数为 的白噪声电压源，也可等效为功率谱密度函数为
13、 的白噪声电流源。,乃奎斯特定理实质:从端口(外部)特性等效意义 ,具有热噪声的电阻的可等效为电流电源或电压电源网络. 证明:在温度T下,该电网络处于热平衡.电容C0中的电子热运动,在其端口上有电压 ,且 .电容C0电能 ;,由能量等配定律知,一自由度的电容平均热能量 .(2) 等效电路：,对偶互易定理: 对一个线性无源四端网络,从1端对到2端的开路电压传递函数 等于从2端对到1端的短路电流传递函数,在温度下，电阻的电子运动在电阻两端随机出现电压脉冲，在电容两端形成电流脉冲 ，则电容被充电,充电量为 .当 时,电容两端电压差 此时,电容储能,电容 作为能量源向网络释放电能,并最终以热能的方式在
14、电阻 耗尽.由巴塞伐定理:则有,传递函数的能量积分定理,(3) 电阻的热噪声电压 的功率谱函数电容 的热噪声响应电压 的功率谱函数则电容均方噪声电压为乃奎斯特定理得证.,例 如下图RC回路所示,试证 时,电容端电压是否满足能量等配律.解:网络传递函数为,热噪声电压 对电容 的响应为 ,即由线性网络叠加原理,各热噪声电源满足: 相互独立, 对于线性网络有: 相互独立, 则独立随机过程之和的自相关函数性质:,由传递函数的能量积分定理知：则有,4.6. 广义乃奎斯特定理,证明：热噪声电压功率谱设 系统无初始储能,且往端口加载则电阻的响应电流为消耗功率为总消耗,从oo/端入网络的等效阻抗为系统消耗的功率为则有,例 用广义乃奎斯特定理计算R-C电路的 .解:,C,
