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1、误差理论综述与最小二乘法讨论摘要:本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法(1.S)的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(T1.S)同传统最小二乘法进行了对比。1 .误差的有关概念对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具1.1 测量基本概念一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。按实验数据处理的方
2、式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。1.2误差基本概念误差是评定测量精度的尺度,误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y,真值为Y,则测量误差dy=y-Y0虽然真值是客观存在的，但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质，可分为随机误差，系统误差和粗大误差三类。随机误差:是同一测量条件下，重复测
3、量中以不可预知方式变化的测量误差分量。系统误差:是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。粗大误差:指超出在规定条件下预期的误差。1.3等精度测量的随机误差当对同一量值进行多次等精度的重复测量，得到一系列的测量值，每个测量值都含有误差，这些误差的出现没有特定的规律，但就误差的总体而言，却有统计规律。1.3.1 正态分布通过对大量的测量数据的观察，人们发现测量列的随机误差有以下几个特征：（1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即误差的对称性；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即误差的单峰性；（3）在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定
4、界限，即误差的有界性；（4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，即误差的抵偿性。正态分布曲线如下图1-1所示。正态分布时区间（田。，叶。）的面积占总面积的6&27%;（卜1.96o,i+1.96o）的面积占总面积的95%;区间（氏2.58o,R+2.58O）的面积占总面积的99%。图1-1.正态分布曲线1.3.2 t分布t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n30,该数据为异常数据，应剔除。莱依特准则的合理性是显然的，对服从正态分布的随机误差，其残差落在(-3o,3o)以外的概率仅为0.27%,当在有限次测量中发生的可能性很小，认为是不可能发生的。(2)肖维勒准则：若对某一物理量等
5、精度重复测量n次，得测量值Xl,X2,X3X”,若认为Xj为可疑数据，若此数据的残差IvDZ。，则此数据为异常数，应剔除。实用中Zl,当等精度测量时，测量数据与直接测量量I的最佳估值二的残差应满足最小，即：ZR=ZQi-y)2=mini-1i-l3.4回归分析回归分析(RCgreSSiOnAnaIySiS)是英国生物学家兼统计学家高尔顿(GaltOn)在1889年出版的自然遗传一书中首先提出，是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法。由于相关变量之间不存在确定性关系，因此，在生产实践和科学实验所记录的这些变量的数据中，存在不同程度的差异。回归分析就是应用数学方法，对大量观测数据进行处理，从而得
6、到比较符合事物内部规律的数学表达式。4.最小二乘法的创立、发展及其思想最小二乘法是提供“观测组合”的主要工具之一,它依据对某事件的大量观测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式。如已知两变量为线性关系y=a+bx,对其进行n(n2)次观测而获得n对数据。若将这n对数据代入方程求解a,b之值则无确定解。最小二乘法提供了一个求解方法,其基本思想就是寻找“最接近”这n个观测点的直线。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。作为其进一步发展或纠正其不足而采取的对策,不少近现代的数理统计
7、学分支也是在最小二乘法基础上衍生出来的。正如美国统计学家斯蒂格勒(S.M.StigIer)所说，“最小二乘法之于数理统计学犹如微积分之于数学”。天文学和测地学的发展促进了数理统计学及其他相关科学的发展。丹麦统计史家哈尔德曾指出天文学在数理统计学发展中所起的作用。“天文学自古代至18世纪是应用数学中最发达的领域。观测和数学天文学给出了建立数学模型及数据拟合的最初例子,在此种意义下,天文学家就是最初的数理统计学家。天文学的问题逐渐引导到算术平均，以及参数模型中的种种估计方法，以最小二乘法为顶峰。”这也说明了最小二乘法的显著地位。4.1 勒让德创立最小二乘法现行的最小二乘法是勒让德(A.M.1.eg
8、endre)于1805年在其著作计算彗星轨道的新方法中提出的，该书有80页,包含8页附录,最小二乘法就包含在这个附录中。勒让德之所以能做出这个发现,是因为他没有因袭前人的想法一要设法构造出k个方程去求解.他认识到关键不在于使某一方程严格符合,而在于要使误差以一种更平衡的方式分配到各个方程。4.2 高斯的正态误差理论早在17世纪,伽利略在其名著关于两个世界的对话一托雷密与哥白尼(1632)中,就讨论了随机误差及其分布的问题。虽然他并未提出这个名词,但他提出了随机误差的分布曲线应有图4-1的形状：1.f关于。对称(即f(-)=f(),这表示正负误差有同等出现的机会)；Zf在两边单调地衰减至0,即大
9、误差出现的机会较小，很大误差的机会几乎为0。图4-1.a是误差大小，f(a)是a这样的误差发生的概率1809年,高斯发表论著关于绕日行星运动的理论。在该书末尾,他写了一节有关“数据结合”的问题，以极其简单的手法导出误差分布一一正态分布,并用最小二乘法加以验证。关于最小二乘法,高斯宣称自1795年以来他一直使用这个原理。这立刻引起了勒让德的强烈反击,他提醒说科学发现的优先权只能以出版物确定。现在一般认为,二人各自独立地发明了最小二乘法,尽管早在10年前，高斯就使用这个原理,但第一个用文字形式发表的是勒让德。高斯较之于勒让德把最小二乘法推进得更远,他由误差函数推导出这个方法并详尽阐述了最小二乘法的
10、理论依据。其推导过程如下：设误差密度函数为f(x),真值为X,n个独立测定值为xl,x2,xn由于观测是相互独立的，因而这些误差出现的概率为：1.(X)=1.xx,XX)=f(x一x)(x一x).f(xx)要找出最有希望的误差函数应使1.(X)达极大,高斯认为即就是X的估计值，并使1.(X)取得极大值。对式两端取对数得：In1.(x) = zfh(xx)i(2)din1.(X)fx*x)再对式求导：二Z；则有_Q6.6.i?X)=上式求对Xi偏导数次xSx,而iniZCY-八1(i牛n)_乙XHA-O-CcT岩将、Z=Ig(X)=cx+b可得2g(XXZT)/星c6-X口)+b=c(x-X)+
11、Z2/?=0/7/=1/=1因寸优1.)=。可以推出b=o,则有g(x)=f(x)/(x)=c,181积分可得()=ke2cx由(x)x,应有c826H47911002(位225.851CIO(M9.229537827%U而92172X(SIC27.1)86P1.5Jill448o500P3羽彻了55OIK29()P3437S7.5796K614J141()S464H67.981表5-2.已知点的真实坐标根据已知点坐标求出各个边长的真实长度,分别为：1.l=5760.7132m,1.2=5187.3387m,1.3=7838.8726m,1.4=5483.1580m,1.5=5731.8220
12、m,1.6=8720.1288m,1.7=5598.6018m,1.8=7494.8989m,1.9=7493.2662m,1.I0=5438.4036m,1.ll=5487.0595m,1.12=8884.5594m,1.13=7228.3699m,5.2.2设计两种方案把PI,P2,P3,P4点作为待定点，对以上网形进行同精度观测，为了便于比较设计2组观测值,方案1为观测值与真实值相差不大的情况,即待定点坐标与真实坐标相差不大的情况,此时系数矩阵误差不大;方案2为观测值与真实值相差较大的情况,即待定点坐标与真实坐标相差较大，此时系数矩阵误差较大的情况,2种方案观测值如下：方案1：同精度测得
13、如图1中的13个边长,其结果为1.l=5760.706m,1.2=5187.342m,1.3=7838.880m,1.4=5483.158m,1.5=5731.788m,1.6=8720.162m,1.7=5598.570m,1.8=7494.881m,1.9=7493.323m,1.10=5438.382m,1.ll=5487.073m,1.12=8884.587m,1.13=7228.367mo方案2：同精度测得如图1中的13个边长,其结果为1.l=5761.706m,1.2=5186.342m,1.3=7837.880m,1.4=5484.158m,1.5=5730.788m,1.6=8
14、721.162m,1.7=5597.570m,1.8=7493.881m,1.9=7492.323m,1.10=5437.382m,1.ll=5488.073m,1.12=8883587m,1.13=7229.367m05.3精度比较与分析表5-3为以上两节获得的数据，以及真实坐标与经平差以后的坐标值的比较:点旺更实任林最小：乘法一面最小二天揩方案1珠2案1.方案21.HI椭坐标485S0274G4BM274J.485841275:485RQ2754455Sil27351Il坐标6050U硼O605帕4982W制4971Ml5力口4981605014979横坐次48681.389O4B6&J.
15、388勺48681.39O4S681.3KS4486B1.3B911很世归552900330152902550J52911550I8290155DIS2987阿437ft718B0A370IH79376718B943761IB814?7ZIBS13型机57%!161405761405T964613157WS6B957ME6142m408J13IB040841317S40刎工3lfi94H科&3179M8413182蚣坐标S497婀*WW7:Iu(4XR-.fiJJ7M9H14图53两种数据处理方法平差结果(单位m)由上表可以看出：最小二乘法处理方案1的数据精度可以达到0.1mm,而处理方案2的
16、数据精度的只能达到Imm。如果方案2中观测值误差更大一点，结果误差可能会更大。由此可见：最小二乘在处理非线性函数模型平差的时候,适用于待定点近似坐标与真实坐标相差很小的情况,相差较大的时候，由于最小二乘没有考虑系数矩阵的误差导致精度不高,数据可靠性不高。(2)全面最小二乘处理方案1和方案2数据精度都可以达到0.1mm甚至更高。由此可见:全面最小二乘在处理非线性函数模型平差的时候，由于考虑了系数矩阵的误差,所以对于两种方案都能达到要求,平差出来的数据符合要求,数据可靠性有保障。5.3结论最小二乘在处理非线性函数模型平差时,仅仅适用于待定点近似坐标与真实坐标相差不大的情况，即观测值误差不是很大的情
17、况下,反之，则数据可靠性可能受到影响，要进行多次平差来验证。而采用全面最小二乘法则可以兼顾系数矩阵和观测值两者的误差,数据精度符合要求,可靠性得到保证,但是全面最小二乘也有它的不足，即数据处理比较复杂,随着计算机科学的发展,数据处理复杂的问题可以借助于程序设计让计算机来处理。参考文献1费业泰.误差理论与数据处理(第四版).北京：机械工业出版社,2000.2贾小勇，徐传胜，白欣,最小二乘法的创立及其思想方法.西北大学学报，2006,36(3):507-511.3陈希孺.最小二乘法的历史回顾与现状.中国科学院研究生院学报，1998,15(1):4-11.4万保峰,程新文,欧龙.T1.S与1.S数据处理方法对比研究.城市勘测,2007:74-76.
