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1、1,奥赛典型例题,分析(近代物理),2,1.一个由日本和印度物理学家组成的工作小组做了如下实验：把6104 kg的铁放在很深的矿井中，以完全隔断宇宙射线的影响，在铁旁有很多探测仪，只要铁核中有核子（质子和中子）发生衰变，这个事件总能被记录下来. 实验从1980年冬开始到1982年夏结束，历时1.5年，一共记录了3个核子衰变的事例. 已知N0个平均寿命为的粒子经过t时间后的数目为 个，根据以上事实，试估算出核子的平均寿命. (已知核子质量m1.6710 27kg，当0 x 1时，ex1x),(98年15届预赛题),3,例1 解：从t = 0开始做实验，核子总数为N0，到t 时刻核子数为N，设核子
2、平均寿命为，则,因 ，则,又,故 (年),4,2. 1995年，美国费米国家实验室CDF实验组在质子反质子对撞机TEVATRON的实验中观测到了顶夸克，测得它的静质量为mt1.7510 11eV/c23.11025kg，寿命为0.41024s，这是近20年来粒子物理研究最重要的实验进展之一.(1)正反顶夸克之间的强相互作用势能可写为 ，式中r是正反顶夸克之间的距离，as0.12是强相互作用耦合系数，k是与单位制有关的常量，在国际单位制中k0.31910 25Jm ，为估算正反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们的连线中点做匀速圆周运动，
3、如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正反顶夸克之间的距离r0，已知处于束缚态的正反顶夸克粒子满足量子化条： 式中左边为一个粒子动量mv与其轨道半径的乘积的两倍，n为量子数，h6.631034Js 为普朗克常数.(2)试求正反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T，你认为正反顶夸克的这个束缚态能存在吗？ (00年17届复赛题),5,例2 解: (1)相邻电荷间库仑力及库仑电势能为,现已知正反顶夸克之间的强相互作用势能,通过类比可得正反顶夸克之间的强相互作用力为,设正反顶夸克绕其连线中点做匀速圆周运动的速率为v，因二者相距为r0,二者所受向心力均为,6,由题设量子化条件，粒子处于
4、基态时，取量子数为n=1，得,由以上两式可解得,代入数据可求得,7,(2)由(1)、(2)二式得,由v和r0可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期T,代入数据可得,8,可见,因为正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的约五分之一，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在的.,9,3. (1)质量不为零的介子静止时衰变为三个质量相同的介子，即3，试讨论每次衰变产生的三个介子的动能T1、T2、T3可能取的全部值.通常表示每一组动能值（T1，T2，T3 ）的方法如下：作一个等边三角形A1A2A3,取其高Q为三个介子的动能之和，QT1T2T3 ，在三角形内取一点P，令P点到顶点Ai的对边的距离为Ti (i
5、=1,2,3)，则每一点对应一组动能值（T1，T2，T3 ），衰变时可以实现全部（T1，T2，T3 ）的可能取值，可以用P点的可能存在区域来表示，这个区域称为运动学允许区，试在A1A2A3中找出 3的运动学允许区（设衰变后介子的速度比光速小得多）.(2)正电子偶素是由一个电子与一个正电子组成的束缚态粒子，记为Ps，它在静止时可以衰变为三个光子，即Ps3,试在A1A2A3中找出三个光子的运动学允许区. (00年17届决赛题),10,能量守恒：,式中 、 分别为介子和介子的静质量,A1A2A3内部任一点均已满足(1)式，现只需求出满足(2)式的P点的位置范围.,由图1,利用余弦定理可得,于是有,因
6、为 ，于是条件(2)可写为,11,由题意知，可以使用非相对论的关系,由(5)、(6)式可得,即,由图2可得,12,而,把(8)、(9)、(10)式代入(7)式可得,(7)式左边为,(7)式右边为,13,故,14,所以(5)式变为,即,同理,同理,15,16,4.有两个处于基态的氢原子A、B，A静止，B以速度v0与之发生碰撞，已知：碰撞后二者的速度vA和vB在一条直线上，碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能态跃迁，并发出光子. 如欲碰撞后发出一个光子，试论证：速度v0需要多大(以m/s作单位)？电子电量为e1.6021019C，电子质量为me
7、9.11031kg，质子质量为mp1.6731027kg，氢原子的基态能量为E113.58eV.,(01年18届复赛题),17,例4 解：为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是n2的激发态，已知氢原子的能量与其主量子数n的平方成反比，即有,n=2的第一激发态的能量为,为使氢原子从基态跃迁到第一激发态，所需能量为,这也是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量，即有,18,从开始碰撞到发射出光子，据动量和能量守恒定律，有,由(6)式可推得,因 ，故 ，所以(5)式中光子的动量与mv0比较，可忽略不计. 所以(5)式可变为,符合(6)、(7)两式的v0的最小值可如下求得：,19
8、,由(6)、(7)式可得,因为 为正恒量，所以当 时，v0有最小值.,20,此时 ，,即B原子的速度至少应为,21,5.如图1所示，在真空中有一个折射率为n (n n0 ，n0为真空的折射率)、半径为r的匀质小球，频率为的细激光束在真空中沿直线BC传播，直线BC与小球球心O的距离为l(l r),光束于小球表面的C点经折射进入小球（小球成为光传播的媒质），并于小球表面D点又经折射进入真空，设激光束的频率在上述两次折射后保持不变，试求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小. (00年17届复赛题),22,在直线BC与小球球心O所决定的平面中，激光束两次折射的光路BCDE，如图1所
9、示.,据折射定律有,由图1中的几何关系可得,激光束经两次折射，其频率保持不变，故在两次折射前后，激光束中的一个光子的动量大小p与p大小相等.,即,23,若取线段GN的长度正比于光子动量 p，GD的长度光子动量 p,则线段ND长度正比于动量的改变量p. 由几何关系得,GDN为等腰三角形，其底边上的高GHCD，故光子的动量改变量pCD，或p GO.,光子与小球的作用时间可认为是激光束在小球传播的时间,即有,24,式中 是光在小球中的传播速度.,据动量定理，小球对光子的平均作用力大小为,据牛顿第三运动定律得光子对小球的平均作用力大小为,25,光子对小球的平均作用力的方向由G指向O.,由(1)、(2)
10、、(3)、(4)式可解得,26,6.在相对实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子，在y轴正方向探测到一个散射光子，已知电子的静止质量为m0，光速为c ,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的十分之一.(1)试求电子运动速度的大小v，电子运动方向与x轴的夹角，电子运动到离原点距离为L0（作为已知量）的A点所经历 的时间t；(2)在电子以(1)中的速度v开始运动时，一观测者S相对于坐标系S也以速度v沿S系中电子运动的方向运动，（即S相对于电子静止），试求S测出的OA的长度. (02年19届复赛题),27,例6 解：,(1)据能量守恒知，电
11、子的动能为入射光子与散射光子的能量差：,（1）,入射光子与散射光子的动量分别为： 及,方向如图所示，而电子的动量为：,28,由动量守恒得：,由（3）、（4）、（5）、（6）式可解得：,29,电子从O点运动到A点所需时间为：,（7）,（2）当观测者相对S系沿OA方向以速度v运动时，由相对论长度收缩公式得：,（8）,30,7.设地球是一个半径为6370km的球体，在赤道上空离地面1千多公里处和赤道共面的圆与赤道形成的环形区域内，地磁场可看作是均匀的，其磁感应强度为B3.20106T，某种带电宇宙射线粒子，其静质量为m06.681027kg ，其电荷量为q3.201019C，在地球赤道上空的均匀地磁
12、场中围绕地心做半径为 R7370km的圆周运动. 已知在相对论中只要作用于粒子的力F的方向始终与粒子运动的速度v的方向垂直，则运动粒子的质量m和加速度a与力F的关系仍为F=ma，但式中的质量m为粒子的相对论质量，问：(1)该粒子的动能为多大？(2)该粒子在圆形轨道上运动时与一个不带电的静质量为m24 m0的静止粒子发生碰撞，并被其吸收形成一个复合粒子，试求复合粒子的静质量m1. （03年20届决赛题）,31,例7 解：,(1)设带电宇宙射线粒子的速度为v，在地磁场的洛仑兹力作用下做圆周运动，其运动方程为：,(1),32,(2)用p、E分别表示宇宙射线粒子的动量和能量，有,(6),(7),设复合
13、粒子的速度为v1,动量和能量分别为p1和E1，有,(8),33,粒子复合过程中动量守恒、能量守恒，所以有,(9),(10),由以上各式及已知条件：m2=4m0 ,得,(11),由（7）、（8）、（10）式得：,(12),34,8.试从相对论能量和动量的角度分析论证(1)一个光子与真空中处于静止状态的自由电子碰撞时，光子的能量不可能完全被电子吸收；(2)光子射到减速表面时，其能量有可能完全被吸收并使电子逸出金属表面，产生光电效应. （04年21决赛题）,35,例8 解：,（1）设电子处于静止状态时的质量为m0，光子的频率为v，假定电子能完全吸收光子的能量，吸收光子后，电子以速度v运动，则这一过程
14、应遵守动量守恒，有,碰撞后系统的总能量为：,(2),(1),由（1）、（2）式消去v可得：,36,碰撞前电子和光子的总能量为,(4),由（3）、（4）式得：,(5),这表明所假设的过程不符合能量守恒定律，因此这一过程实际上不可能发生.,(2)束缚在金属中的电子和射入金属的光子二者构成的系统在发生光电效应的过程中动量不守恒，只需考虑能量转换的问题.设电子摆脱金属的束缚而逸出，需要对它做功至少为W（逸出功），逸出金属表面后电子的速度为v ,入射光子的能量为h ,电子的静止质量为m0，若能发生光电效应，则有：,37,(6),逸出电子的速度一般都比光速小很多，故有,(7),忽略高阶小量，只取（7）式的
15、前两项，代入（6）式，可得,(8),可见只要 ,（8）式就能成立，光电效应也能发生.,38,9. 封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图2所示某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（R r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直板的圆心O2 、S、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全
16、遮住，即没有光射到屏上的情况不考虑光的衍射试求：(1)车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻 (2)地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻,（05年22届复赛题）,39,例9 解：,(1),40,此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L.在车厢参考系中，初始时，据相对论，挡板离光源的距离是：,(2),故出现挡板完全遮住光束的时刻为：,(3),由（1）、（3）式得：,(4),41,(7),(2)相对地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动，光源与孔之间的距离缩短为,(5),而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为：,(6),初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为：,42,亦可以用洛仑兹变换来求地面参考系中刚出现挡板将光束完全遮住的时刻.,设车厢参考系中，光束被挡板完全遮住的时空坐标为（t车、L）,地面参考系中，光束被挡板完全遮住的时空坐标为（t地、xA）,据洛仑兹变换有：,这与前面计算结果是相同的.,
