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1、第三章 金融应用模型,第一节 利率模型,资金是有时间价值的，无论进行了什么样的经济活动，都必须认真考虑资金时间价值，千方百计缩短资金使用周期，加速资金周转，节省资金占用数量和时间，提高资金的经济效益。,一、单利模型,设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn,若年利率和本金都是常数，n年后的本利和为,二、复利模型（利滚利）,1、离散型复利模型,每年结算一次，n年后的本利和为冠,每年结算m次，n年后的本利和为,2、连续型复利模型,连续结算（瞬时结算），n年后的本利和为,已知初始资金S0，用单利或复利计算n年后资金Sn的计算式称为终值模型；反之，已知n年后的终值Sn，求按年利率r折算到现在
2、时间段的资金S0的模型称为现值模型。,三、现值模型,在现值模型中，将年利率r也称为折现率,1、单利现值模型,若n年后的终值是Sn,则初期的现值为,2、复利现值模型,每年折现一次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为,每年折现m次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为,连续折现,若n年后的终值是Sn,则初期的现值为,流出系统的资金称现金流出，流入系统的资金称现金流入，现金流入与现金流出之差称净现金流量。,在财务分析中，把研究的项目视为一个系统，投入的资金、花费的成本、获得的收益，可以看成是以资金形式体现的该系统的资金流出或流入。在项目整个寿命期内各时点上实际发生的资金流出或流入称为现金流量。,四
3、、资金流的现值与终值模型,现金流量图,若在相同时间段资金量不是固定值，而是随时间段变化，用Ai表示第i阶段末的资金量(i=1,2,n),r表示阶段的利率，则n个阶段全部资金量的终值S为,若Ai表示净现金流,称S0为净现值，记为NPV,则n个阶段全部资金量的现值S为,若考虑现值，第i阶段资金的现值为 Ai(1+r)-i,若每个相同时间段资金数额相同都为A，即Ai=A，称A为年金。根据资金产生时间分为,普通年金：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。,先付年金：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。,五、年金,递延年金：在若干期以后收付的年金。,永续年金：无限期的普通年金。,普通年金现值为,普通年
4、金终值（复利）为,例 假设以8%的利率借款500万元，投资于某个寿命期为12年的新技术，每年至少要收回多少现金才是有利的？,解得A为,因此，每年至少要收回663500元，才能还清贷款本利。,A=50000000.1327=663500（元）,设每年回收A元，据普通年金现值计算公式,先付年金终值（复利）为,先付年金的现值为,永续年金无终值（），其现值为,3.2 连续资金流的终值与现值,若各阶段资金量是时间t的连续函数f(t)，也称为连续资金流，若f(t)在（0，T)连续，则在时间段（t,t+t)内资金的近似值为f(t)t,若按连续复利计算，这些资金在期末的终值为,由定积分思想，总收入的终值为,若
5、求现值，设连续折现,记其对应的现值为S0, T年资金流量的总现值S0是,特别，当f(t)=A时，有,解 T年后增加收入的现值为,T年后设备残值的现值为,T年后总利润的现值为,为求最大值，对T求导得,令,得T=10,当T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后报废这台机器，此时，企业所得利润的现值为,T=10为唯一极大值点，就是最大值点。,又,3.3 简单的投资决策模型,投资决策分析对企业获利能力、资金结构、偿债能力及长远发展都有重要影响，投资决策方法非常多，简单的技术方法可以分为非贴现法和贴现法两类,它们的区别在于前者不考虑货币的时间价值，计算简便；后者则考虑货币的时间价值，更科学、合理
6、。非贴现法主要有回收期法和年平均报酬率法两种。贴现法主要有净现值法、内部收益率法和获利能力指数法三种。 以贴现法为例分析。,式中 PT动态投资回收期； CI第t年的现金流入量； CO第t年的现金流出量； ic基准收益率。,一、投资回收期(动态),动态投资回收期是指在给定的基准收益率ic下，用方案各年资金净流量的现值来回收全部投资的现值所需的时间。公式：,例 项目A的现金流量为,折现现金流量为(折现率为10%),项目投资回收期在一定程度上显示了资本的周转速度。资本周转速度愈快，回收期愈短，风险愈小，盈利愈多。,不足的是，投资回收期没有全面地考虑投资方案整个计算期内的现金流量，即忽略在投资回收期以
7、后发生的数据,对总收入没有做考虑。只考虑回收之前的效果，不能反映投资回收之后的情况，无法准确衡量方案在整个计算期内的经济效果。 投资回收期作为方案选择和项目排队的评价准则是不可靠的，它只能作为辅助评价指标。,二、净现值（NPV）,净现值是指方案在寿命期内各年的净现金流量按照设定的折现率折现到期初时的现值之和，反映了方案获利能力。其表达式为：,式中： NPV净现值； CI第t年的现金流入量；,CO第t年的现金流出量； n该方案的计算期； ic设定的折现率。,对单一方案而言，若NPV0，则认为项目可行，若NPV 0，则予以拒绝。对多方案比选时，净现值越大，方案越优。 净现值的大小既取决于资金流量，
8、也取决于所用的贴现率。对于同一项投资方案来讲，贴现率越小，净现值越大；反之，净现值越小。,原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量(年金的现值)或不规则的资金流量，充分考虑了投资方案发生资金流量的先后时间以及整个寿命期间内的收益，体现了货币的时间价值。因而它是一种较为广泛使用的长期投资决策方法。 主要缺点是在投资额不相等的若干方案之间进行比较时，单纯看净现值的绝对额并不能做出正确的评价。因为在这种情况下，不同方案的净现值是不可比的。,净现值的优缺点,例,项目的净现值,单位：万元,三、获利能力指数,获利能力指数是项目投产后现金流量的现值之和与初始投资现值之和的比，表明项目单位投资的获利能力，记为P
9、I。表达式为：,获利能力指数显然和净现值很相似，但它反映了单位投资额的效益。与净现值指标相比，更便于投资额不等的多个项目之间的比较和排序。,PI=投产后现金流量的总现值/初始投资总现值,如果投资方案获利指数大于或等于1，为可行方案； 如果获利指数小于1，则方案不可行； 如果几个方案的获利指数均大于1，那么获利指数越大，投资方案越好。,PI决策的标准是,内部收益率（IRR）指使项目的净现值等于零时的折现率。,（四）内部收益率,IRR的决策标准：,1、将方案的内部收益率与行业基准收益率对比，如果方案的IRR大于等于行业基准收益率，则方案可行，否则不可行； 2、在可行的方案中，IRR最大的方案为最优
10、方案；,直接反映投资项目的实际收益水平，可以直接与行业基准收益率比较。计算过程不受基准收益率高低的影响，比较客观。,IRR优点：,例 某公司有一完整工业项目。各年的现金净流量如图所示，假设该项目的基准折现率为10%.,用matlab计算得 净现值 NPV=71.97（万元），获利指数 PI=1.1881 内部收益率 IRR=12.9%,马科维茨投资组合模型,美国经济学家马科维茨是现代投资组合理论的创始人。他于1952年3月在金融杂志上发表了题为证券组合选择的论文，并于1959年出版了同名专著，详细论述了证券收益和风险的主要原理和分析方法，建立了均值方差证券组合模型的基本框架。马柯维茨认为，投资
11、组合的风险不仅与构成组合的各种证券的个别风险有关，而且受各证券之间的相互关系的影响。马柯维茨根据风险分散原理，应用二维规划的数学方法，揭示了如何建立投资组合的有效前沿，使有效前沿上的每一个组合在给定的风险水平下获得最大的收益，或者在收益一定的情况下风险最小。,设市场有n种风险资产，其收益率为随机变量，用向量表示为,其数学期望向量为,n种资产组合权重向量为,权重向量约束条件为 写成向量的形式为其中1 表示分量全为1的列向量。,资产组合期望收益的向量表达式为,资产组合方差的向量表达式为,其中是n种资产收益率的协方差矩阵,注：协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量a，都有,给定一个证
12、券投资组合 ，它的预期收益率 和标准差 确定了一个点对 ：,将其称为组合线。组合线上的每一点，表示一个权数不同的证券组合。因此组合线告诉我们预期收益率与风险怎样随着证券组合权重的变化而变化。,对于一个理智的投资者来说，如果给定预期收益率水平，他喜欢风险低的投资机会；如果给定风险水平，他喜欢预期收益率高的投资机会。用数学模型表达这两个基本原则，则有下面两个数学规划模型,在预期收益水平确定的情况下，求使组合风险达到最小,即,在风险水平确定的情况下，求使组合收益最大，即,实际上，两个模型组成的可行集合和有效集是等价的。下面研究最小方差投资组合模型。,用拉格朗日乘数法求解。令拉格朗日函数为,则最优解的
13、条件为,由于矩阵 可逆，解得,变形为,由约束条件可得,再将 变形为,由约束条件可知,令,可得方程组,，,解得,投资组合系数为,投资组合预期收益的方差为,整理得,上式给出了投资组合预期收益率与方差的关系，若预期收益率为，则,变形为,两边开平方并移项，得,表示了一条抛物线，该抛物线的顶点为 ，可以证明这条抛物线开口向右,对 移项并整理得,在 平面上， 为双曲线的标准型，中心在 ，对称轴为 和 ，双曲线的图形如图所示。,在图中的g点是一个特殊的点，它是双曲线在第一象限中图形的顶点。由图可知，所代表的组合是所有可行组合中方差最小的，将其称为“全局最小方差组合”。,全局最小方差投资组合为,显然g点以下的
14、组合是所有可行组合中方差相同而期望收益较小的组合，任何一个理性的投资者都不会选择这样的组合。g点以上的边缘是所有可行组合中方差相同而期望收益较大的组合，这些组合即为有效投资组合，也就是有效前沿。,两基金分离定理 任意最小方差投资组合都可以表示为全局最小方差投资组合 和可分散化资产组合 的线性（凸）组合。用数学式表示即为,其中,两基金分离定理表明在有效前沿上的任意一个投资组合都可以由有效前沿上两个线性无关的投资组合线性表示出来。 假设wa和wb是在给定收益ra和rb（ra rb）的有效资产组合，则任何有效的资产组合都可由wa和wb的线性组合构成。反之，由wa和wb线性组合构成的资产组合，都是有效
15、组合。,两基金分离定理的意义,定理的前提：两基金（指两个有效资产组合）的期望收益是不同的，即两基金分离。一个决定买入有效资产组合的投资者，只要投资到任何两个有效和不同收益率的基金即可， 投资者无须直接投资于n 种风险资产，而只要投资在两种基金上就可以了。,计算上的意义：要获得有效前沿，只需要获得两个有效解，然后对解进行组合即可。,资产组合理论的优点,首次对风险和收益进行精确的描述，解决对风险的衡量问题，使投资学迈向科学。分散投资的合理性为基金管理提供理论依据。单个资产的风险并不重要，重要的是组合的风险。从单个证券的分析，转向组合的分析。,资产组合理论的缺点,当证券的数量较多时，计算量非常大，使模型应用受到限制；解的不稳定性。,演讲完毕，谢谢听讲!,再见，see you again,3rew,
