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1、第一章 导数及其应用,选修2-2,1,1.1.2 导数的概念,2,（1）求质点在t=2至t=4这段时间的平均速度；（2）求质点在t=2时的瞬时速度。,问题：是否可利用平均速度求瞬时速度？,一质点的运动方程为s(t)=3t2-6t+5,其中s表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s）.,3,求质点在t=2,t=2+t这段时间的平均速度；,t0时, 在 2+t, 2 这段时间内,t0时, 在 2,2+t 这段时间内,4,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.0
2、0001,问题：可否利用平均速度求瞬时速度？,t 无限逼近0时, 2s到(2+t)s的平均速度便无限逼近2s时的瞬时速度！并且平均速度趋近于6m/s.,2s到(2+t)s的平均速度,5,6,思考：,1、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？,2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？,即从表达式入手，即当t趋于0时， 趋近于6,平均速度的极限=瞬时速度,7,导数的定义:,注意：瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。,8,由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:,求函数的改变量2. 求平均变化率3. 求极限值,一差、二比、三极限,9,导数概念的进一步理解,10,11,
3、_,【小试牛刀】,设f(x)=ax+4，若f(1)=2,则 a=_.,12,13,14,例1.求y=x2在点x=1处的导数,解：,15,f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算x=2和x=6时的导数.,根据导数的定义,所以,同理可得,例1,16,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,17,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,什么是导函数?,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,18,19,1.1.3 导数的几何意
4、义,20,1.曲线的切线,如图,曲线C是函数y= f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.,21,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,22,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,注意
5、,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。,23,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)先利用切线斜率的定义求出切线的斜率(2)利用点斜式求切线方程.,24,变式: 设f(x)为可导函数，且满足 , 求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率.,故所求的斜率为-2.,25,例2:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=
6、3x-4.,26,练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,27,练习,28,练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和,29,例2:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:,分析:利用函数f(x)在点x0处可导的条件,将题目中给定 的极限恒等变形为导数定义的形式.注意在导数定 义中,自变量的增量x的形式是多样的,但不论x 选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,
7、30,莱布尼兹：影响人类的100位伟人中，无莱布尼兹排名，但是： 戈特弗里德威廉莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。,历史上牛顿与莱布尼兹争论谁是微积分的发明人，牛顿赢，但历史上是两人同时发明。这次争论让英国的数学倒退一个世纪。,牛顿、爱因斯坦有自闭症即阿斯伯格症。,31,求质点在t=2,t=2+t这段时间的平均速度；,32,当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t
8、 = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,问题：可否利用平均速度求瞬时速度？,t 无限逼近0时, 2s到(2+t)s的平均速度便无限逼近2s时的瞬时速度！,2s到(2+t)s的平均速度,33,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,t 无限逼近0时, 2s到(2+t)s的平均速度便无限逼近2s时的瞬时速度！,平均速度的极限=瞬时速度,34,问题三：运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?,t 无限逼近0时, t0 到 (t0 +t) 的平均速度便无限逼近 t0 时的瞬时速度！,平均速度的极限=瞬时速度,35,导数的定义:,一般地，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作,或 , 即,36,当 t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 6.,从物理的角度看, 时间间隔 |t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 6m/s.,思考：,1、任取某一时刻t0，其瞬时速度怎样表示？,2、函数f(x)在x0处的瞬时变化率怎样表示？,37,
