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1、n上一章所研究的多属性决策问题是由单个决策者从有限个方案中，选择一个决策者认为满意的方案。其决策行为主要表现在单一效用函数或单一优先关系的构造和分析，这一类决策是所谓的独断型决策。但在现代社会生活中，实际决策的形成往往不是一个人说了算的。由于各种经济决策问题变得越来越复杂，在许多情况下都有必要集中一群人的智慧来共同解决决策问题。即使是人们每天碰到的日常决策，虽然本质上不属于群决策的范畴，但也会征求亲友或同事们的意见，然后才作出决定。因此，根据群体各个成员的意见和偏好来制订统一的决策是人类决策的普遍形式。现代群决策(GDM)理论的研究范畴已经从早期的社会选举理论发展到近代的多属性群决策理论，又从
2、多属性群决策理论进一步推广到现代的专家系统理论和对策理论，并与模糊集理论结合在一起，形成了一个十分活跃而广泛的研究领域。多属性决策问题从单个决策者的独断情形转变到多个决策者集议的情形，给决策分析带来许多复杂的因素，并提出一系列的新问题。由于不同的决策者对同一问题的理解和愿望彼此不同，甚至是相互抵触和矛盾的，如何根据每个成员的偏好形成整个群体的偏好，即从单一优先关系或单一效用函数形成群体优先关系或群体效用函数，进而排列方案的优劣次序，便成为解决多属性群决策问题的关键。12.1 选举函数和福利函数12.1.1 社会选举理论选举是民主社会中表达民众意愿的基本形式，也是最典型的群决策方法之一。当选民在
3、投票的时候，心中对候选人的各方面条件，如资格、能力、诚信度等，都已经作了综合性的衡量与比较，才形成自己的选择意愿。所以，选举过程实质上是一个多属性的群决策过程，只是这里的决策属性没有以外在的形式表现出来而已。社会选举方法的形成和发展可以划分为三个主要的历史时期。第一个历史时期发生在十八世纪八十年代的法国，其代表人物为 Borda和Condorcet。第二个历史时期发生在十九世纪六十年代和九十年代之间的英国，其代表人物为Dodgson和Nanson。第三个历史时期发生在二十世纪五十年代至八十年代的美国，其代表人物为Arrow，Gibbard和 Satterthwaite。选举需要解决的根本问题是
4、如何在充分考虑个人意愿的基础上形成合理的全社会的选举结果。对于只有两个候选人的选举情况，简单多数的选举原则被普遍认为是公正可行的。但如果有多名候选人存在时，简单多数的选举原则却有可能导致矛盾荒谬的结果。譬如，设有三个选民甲、乙、丙和三个候选人，如果甲认为 优于 ， 又优于 ；乙认为 优于 ， 又优于 ；而丙认为 优于 ， 又优于 。那么两两比较的结果是： 优于 有两票赞成一票反对， 优于 也有两票赞成一票反对，但是 优于 只有一票赞成两票反对。因此，按简单多数原则得到的结果是不传递的，即 优于 ， 优于 ，但 却不优于 。这就是十八世纪末由Condorcet揭示的选举问题中的多数悖论，称为Co
5、ndorcet现象，或Condorcet效应。为了克服Condorcet 现象在选举理论上造成的极大困扰，许多不同的群决策程序相继提出，形成了社会选举函数和社会福利函数两大类别。前者主要用于政治选举问题，后者主要用于经济决策问题。当方案集为有限集时，社会选举函数和社会福利函数是完全等价的，只有当方案集为无限集时，社会福利函数才有别于社会选举函数。社会选举函数基于Condorcet倡议的简单多数原理，并由Borda (1784)，Copeland (1951)，Nanson (1883)，Dodgson (1876)，Kemeny (1959)，Cook和Seiford (1978)，Fishb
6、urn (1977)，Bernardo (1981), Miller (1983)，Shepsle和Weingast (1984)，Banks (1985)，Mckelvey (1986)，Feld 及其合作者(1987)，Hartley和Kilgour (1987)，Dutta (1988)，Zavist 和Tideman (1989) 等人围绕着Condorcet现象从不同角度对社会选举函数进行了改进和推广。Black (1958) 和 Fishburn (1977) 以及Gehrlein (1983) 对早期的这些方法进行了总结，并从理论上作了详细的比较性研究。社会福利函数的概念由Ber
7、gson (1938) 提出，经过Samuelson (1947)，Goodman- Markowits (1952) 的改进和发展，并由Arrow (1963) 加以创新和推广。此后，Kirkwood (1972)，Bowman-Colantoni (1973)，Gibbard (1973)，Blin-Whinston (1974)，Satterthwaite (1975)，Farris-Sage (1975)，Parks (1976)，Pollak (1979)，Dyer-Sarin (1979)，Mackay (1980)，Bowers (1981)，Grether-Plott (198
8、2)，Fishburn (1983, 1987)，Nurmi (1987)，Merrill (1988)，Enelow-Hinich (1989) 等人在Arrow 的不可能性定理的基础上，提出了各种各样的改进方法。Luce-Raiffa (1957)，Rotheberg (1961)，Kelly (1978) 和Fishburn (1973, 1984, 1990) 对各种社会福利函数都有过精辟的论述。下面我们将扼要介绍社会选举函数和社会福利函数的基本理论和方法。12.1.2 社会选举函数在社会选举问题中，候选人集合是一个非空有限集合，记为A。设有n位选民参加投票，每个人将按照自己的意愿对候
9、选人进行排队。对于任何两个候选人x, yA，采用符号# (i：x i y) 表示x优于y的票数，则有# (i：x i y) + # (i：y i x) = n, xy。那么简单多数原则可以被定义为：x y 当且仅当 # (i：x i y) # (i：y i x)如果 # (i：x i y) = # (i：y i x)，则认为x与y无差异。Condorcet认为，在简单多数原则下，如果存在某一个候选人能够击败所有的对手，则该候选人必然是最能代表大多数选民意愿的选举结果。换言之，Condorcet原则被定义为：x = x* 当且仅当xA, x y, yAx但是，当选举结果出现循环现象时，不存在以简
10、单多数胜出的候选人。为此，许多学者对上述简单多数原则进行了推广，并由此产生了多种多样的社会选举函数。现选择其中有代表性的几种社会选举函数分别介绍如下。(1) Condorcet函数当简单多数胜出的候选人不存在时，Condorcet提议采用下面的方法。设则候选人的优先顺序将按照函数fC (x)的值来排列。这里，fC (x)的值表示x与其它候选人比较时所处的最不利情形。因此，fC (x)是一个极大极小型的保守函数。(2) Borda函数在包含m个候选人的选举问题中，Borda提议对每一个候选人依据其排序名次分别记分，称为Borda分。记分原则是排在第一位得m 1分，第二位得m 2分，这样依次递减，
11、直到最后一位得0分。候选人的最终排名取决于Borda总分的高低，其数学表示式为(3) CookSeiford函数Cook和Seiford引进了距离函数d以度量排序的不一致性，并将总距离最小的排序方式定义为一致性排序。设rij表示选民i对候选人j的排序结果，令rj*表示候选人j的一致性排序结果，那么选民i排序的不一致性可以表示为故排序的总偏差为因为rj*只能等于序数1, 2, , m中的某一个，设rj* = k，则可定义从而假定每个候选人都有m个不同的k值，则一共要计算mm个距离系数djk , j, k = 1,2,m。显然，寻找使总距离最小的一致性排序问题等价于求解一个mm的分配问题。限于本教
12、材的撰写目的和篇幅，其它社会选举函数不再一一列举，有兴趣的读者可参阅书后所列的参考文献。例12.1 假设某班级60位学生拟从3名任课教师中评选1名优秀教师，投票结果为：23票：a b c17票：b c a 2票：b a c10票：c a b 8票：c b a(1) Condorcet函数：两两比较结果为# (i：a i b) = 33，# (i：b i a) = 27，# (i：a i c) = 25，# (i：c i a) = 35，# (i：b i c) = 42，# (i：c i b) = 18。显然，这里不存在能以简单多数胜出的候选人。采用Condorcet函数的计算结果可表示为如下矩
13、阵形式：abcfC a332525b274227c351818结论：b a c。(2) Borda函数：abcfB a332558b274269c351853结论：b a c。(3) CookSeiford函数：已知i = 1,2,60，j = a, b, c，k = 1, 2, 3类似地，可算出：以上距离系数被总结在下面的矩阵表中： kj123a624858b512969c674353这是一个使总偏差达到最小的分配问题，其求解过程为：62485814010000512969220408030674353240101000结论：a b c。12.1.3 社会福利函数福利经济学是西方的一种经济学
14、派，主要研究社会资源和商品的分配理论与方法，旨在发现某种合理的社会结构，以使由资源和商品产生的社会福利达到最大。福利经济学家从社会福利的观点去评价各种可能的社会结构，并用一个反映社会状况的实值函数 福利函数去度量和判断每种社会结构的优劣。早期的社会选举函数和社会福利函数对候选人或事所处状态的描述采用的都是序数型变量，即排序比较方法。针对这种情形，Arrow提出了满足一致性要求的两条公理和五项条件，并在此基础上证明了著名的Arrow不可能性定理，即在一般情形下不可能找到一种程序或方法将所有社会成员的个人偏好集成为整个社会的群体偏好而不违背一致性原则。为此，其它学者作出了种种假设，旨在将序数型的社
15、会福利函数改写成基数型的效用函数，从而发展为现代的多属性群决策理论与方法。在介绍Arrow的不可能性定理之前，我们先引进二元关系和社会福利函数的定义与性质：定义12. 1 集合A上的一个二元关系R是域AA上的一个子集，定义为 A上全部有序对 (x, y) 的集合，记作x R y，并用符号 , 和 分别表示x, y之间的强序关系，弱序关系和无差异关系，记作x y，x y和x y。定义12. 2 设R是集合A上的一个二元函数。则：(1) R是自反的当且仅当：x R x, xA。(2) R是连通的当且仅当：。式中是逻辑或的符号，即对于集合A中的任何x, y不是x R y，就是y R x。(3) R是
16、不循环的当且仅当：不存在 ，使得式中是逻辑与的符号。(4) R是可传递的当且仅当：，即如果，而且y R z，则x R z。(5) R是一个弱序关系当且仅当：R是连通的和可传递的。定义12. 3 设有一组方案 和决策群体D = (D1, D2, , Dm)。社会福利函数f是将决策者个人在方案集A上的独立序关系合成为决策群体D在A上的总序关系R的法则，亦即f是从积空间R m到空间R的一个映射，记为, 或 定义12. 4 对于A中的任意方案x, y，当决策者Di认为x i y, x i y和x i y时，分别记 R i = 1, 0 和1。则由社会福利函数 f 确定的群决策法则具有以下性质：(1)
17、可决策性：；(2) 公正性：；(3) 平等性：如果是1,m上的任一排列，则 (4) 正相关性：；(5) 均分性：对于任意正整数 m，；(6) 弱Pareto最优性：；(7) 强Pareto最优性：如果中的某些值等于1，而其它值等于0，则 如果中的全部值等于0，则。对定义10.4中的有关性质可作如下解释，(1) 可决策性：指由社会福利函数产生的群决策法则对于选民的每一种选择意向都应该能得到一个有意义的、唯一的决策结果。(2) 公正性：如果所有的人都改变原来的选择意向，则原决策的结果将会被推翻，其作用是防止任何候选人或候选方案被外部势力内定为决策的必然结果。(3) 平等性：避免某一个决策成员享有高
18、于其它决策成员的权力，体现了一人一票的选举原则。(4) 正相关性：如果一个或几个决策成员的选择意向朝着对方案x有利的方面转化，而对其它方案的选择意向保持不变，则方案x所处的选举地位只会变好，不会变差。(5) 均分性：当某一个决策者认为方案x和方案y无差异时，可设想该决策者被一分为二，其中的半个人投票赞成x，另外半个人投票赞成y。如果有多个方案被认为无差异时，也可用类似的方式进行处理。(6) Pareto最优性(也称为全体一致性)：当所有的人都选择x时，则x胜，当所有的人都选择y时，则y胜。容易想见，满足上述定义的社会福利函数很多，有些是可以接受的，有些是不能接受的。Arrow 在群决策理论上的
19、重大贡献之一是为社会福利函数规定了一组看起来非常可信的公理和条件，从而导出了群决策理论上著名的不可能性定理。它们是：公理1 连通性：设有方案集 和决策群 ，决策者对于A中任意方案的偏好，不是，就是，或者。公理2 传递性：对于方案集中的任意方案，如果决策者认为，则必有。条件1 (完备性) 方案集A中至少有三个方案，决策群D中至少有二个决策人，由社会福利函数产生的群决策法则必须考虑每一个决策者的选择意愿。条件2 (正相关性) 如果社会福利函数f给出x优于y的结果，则当决策者对x以外的方案进行两两比较的结果不变，且对x与其它方案之间的比较结果对x而言没有任何不利时，社会福利函数的结果将维持不变。条件
20、3 (无关方案独立性) 设A 为方案集A中的一个子集，如果每一个决策者都保持对A 中方案两两比较的结果不变，而只改变A 以外方案的比较结果，则对A 中的方案来说，两种情况下的决策次序是一样的。条件4 (Pareto 最优性) 对于A中的任意方案，必须有某些决策者认为优于时，才有可能导致群体的选择结果是优于。条件5 (非独裁性) 对于A中的任意方案，没有任何一个决策者可以为群体指定一个优劣次序，或者，而不管其它决策者的意见如何。定理12. 1 没有任何一个社会福利函数 能同时满足上面的两条公理和五个条件。在Arrow之后，许多其它形式的不可能性定理相继提出。其中最有代表性的几种形式是：Mass-
21、Colell和Sonnenschein (1972), Gibbard (1973) 和Satterthwaite (1975), Parks (1976) 和Pollak (1979) 以及Grether和Plott (1982)。每一条不可能性定理的后面都伴随着相应的可能性定理和一系列相互可比的条件，这些条件都是通过松弛或弱化Arrow 定理中的一个或多个条件以达成一致而得到的。感兴趣的读者可以查阅后面的参考文献或Kelly(1978) 和Fishburn (1987) 对此所作的精辟论述。社会福利函数之所以不能同时满足Arrow定义的两条公理和五个条件，有原理和方法两方面的原因。从条件本
22、身来说，Goodman和Markowitz(1952) 曾用下面的例子说明了Arrow条件的局限性。设主人拟用茶或咖啡中的一种同时招待两位客人，如果主人只知道客人甲对咖啡的喜好胜于茶，而客人乙对茶的喜好胜于咖啡，则主人会认为以茶或咖啡待客是没有区别的。但如果主人还进一步知道甲的喜好是咖啡胜于茶，茶胜于可可，可可胜于牛奶；但乙的喜好是不仅茶胜于咖啡，而且可可、牛奶甚至白水都胜于咖啡。在这种情况下，主人要招待这两位客人显然是以茶为好。这说明表面上看起来似乎无关的方案(在此为可可、牛奶和白水)对于群决策的集成法则并不是完全无关的，因而Arrow 定义的条件3 对社会福利函数而言并非绝对适当。同时，F
23、ishburn (1970) 已经证明，当问题的决策集是无限集合时，Arrow 定义的五个条件将可以被满足。这里，决策集有限和无限的差别在于，原不可能性定理中独裁者的角色可以从幕前转到幕后。从方法上来看，序数型的社会福利函数仅仅给出了个人和群体对不同方案的偏好顺序，但忽略了他们对不同方案的偏爱程度，因而缺乏对事物的分辨力。以Goodman和Markowitz的例子来说，如果客人甲和乙各自对咖啡和茶的喜爱程度可以被量化，即用某种统一的尺度去衡量的话，譬如甲对咖啡的喜爱是8个单位，对茶的喜爱是6个单位，而乙对茶的喜爱是10个单位，对咖啡的喜爱是2个单位，则主人不难决定待客的饮料以茶为宜。这样得到的
24、社会福利函数被称为基数型的社会福利函数。只要经过简单的变换，基数型的社会福利函数很容易转化成所谓的的效用函数。容易证明，在个人效用函数基础上建立的群效用函数可以满足Arrow 提出的全部条件和公理。12. 2 群效用函数基于群效用函数作出的决策并不是一种简单的多数规则，它包含了更多个人效用的信息和人与人之间的效用的比较。群效用函数的一般形式为：式中代表第i个决策者对方案x的个人效用函数值。如果群效用函数为已知，则群决策问题就可以写成下面的数学规划问题：为了便于构造群效用函数，Keeney和Raiffa(1976)为群效用函数的存在提出了某些必要的条件，并在此基础上定义了群效用函数的加法模型和乘
25、法模型。现将这两种模型分别介绍如下：(1) 加法模型条件1 个人效用函数和群效用函数均应满足关于效用的Neumann-Morgenstern 公理系统，即方案集A上的二元关系是完备的、传递的、独立的、和连续的。条件2 如果群中每个决策成员都认为某两个方案是无差异的，则决策群也认为这两个方案是无差异的。条件3 个人效用函数的效用值是独立可加的。定理12. 2 满足上述条件的群效用函数可以表示为：式中是群中第i个成员的个人效用函数，而是的权值。(2) 乘法模型条件1 个人效用函数和群效用函数均应满足关于效用的Neumann-Morgenstern 公理系统，即方案集A上的二元关系是完备的、传递的、
26、独立的、和连续的。条件2 如果群中所有的决策成员除第i个成员外都认为所有方案无差异，则群效用函数是第i个个人效用函数的正线性变换。换言之，此时的群偏好等价于第i个成员的偏好。条件3 如果群中所有的决策成员除第i个和第j个成员外都认为所有方案无差异，则决策群体对这些方案的偏好仅取决于第i和第j个成员的偏好。定理12. 3 满足上述条件的群效用函数可以表示为：式中为标度常数，, i = 1,2,m。Keeney(1974)已经证明：当时，群效用函数应采用加法模型；当时，群效用函数应采用乘法模型。群效用函数的存在性表明，可以由群中每个成员的偏好形成整个群体的偏好，并根据群体的偏好排列方案的顺序。这为
27、解决群决策问题提供了重要的理论基础。但在实际决策中，直接构造群效用函数有诸多不便，故很少应用。我们在下一节将介绍如何将已经学习过的多属性决策方法移植过来，用以解决群决策问题。12.3 多属性群决策方法在前面讨论的群决策模式中，事物的属性并没有以外在的形式表现出来。群效用函数的集成对象是所有个人效用函数的效用值，但个人效用的获取过程并没有涉及。这里，我们将在本书第九章的基础上，介绍有多个决策者存在时多属性决策问题的解决方法。设有方案集A = A1, A2, , Am和决策群体D = D1, D2, ., Dn。每一位决策者将依据自己选定的一组属性C = C1, C2,Cl 对每一个方案独立地进行
28、评价，并用权向量w = w1, w2, wl 表示各属性的重要程度，符合归一化条件w1 + w2 + + wn = 1。不同决策者考察的属性及采用的权值可以相同，也可以不同。其决策模式写为： C1 C2 - Cl 与多属性决策一样，决策者采用的评价方式有序数型和基数型两种：前者只给出每一属性上各方案的排列顺序；后者则度量各方案每一属上的实际水平，并以数值形式表明其结果。不同之处在于多属性决策的决策矩阵是唯一的，它反映了决策者对多个属性的偏好结构；而群决策的决策矩阵有许多个，分别代表了不同决策者的决策意愿，其偏好结构互不相同，但都应受到尊重，不能厚此薄彼，或有所偏废。为了使问题简化，假定个人效用
29、函数的效用值是独立可加的。那么，求解群决策问题的关键在于：(1) 如何表示每一位决策者的个人优先关系；(2) 如何将个人优先关系合成为群优先关系；(3) 是先合成、后评价，还是先评价、后合成？这里，前者是先将不同决策者就方案属性作出的评价综合到一起，然后选用已知的多属性决策方法统一求解，其实质是将一个群决策问题整体转化为一个独裁决策问题，它要求所有的决策者采用相同的属性和属性权值以方便合成；后者是由每一位决策者先按照自己的意愿分别对相应的多属性决策问题进行求解，其结果归结为社会选举问题，然后采用本章讨论的社会选举函数作出最终的选择，其实质是将一个群决策问题分解成若干个独裁决策问题，该方法对不同
30、决策者考察的属性和采用的属性权值不强求一致。综上所述，求解一个效用值独立可加的群决策问题，关键在于怎样合成和什么时候合成。因为涉及两种数据结构(序数型和基数型)和两种合成顺序(先合成和后合成)，两两组合共有四种不同的决策程序，现通过实例分别介绍如下。例12. 2 NASA为宇宙飞船的科学实验拟定了六个可能的实验方案，它们分别是：通讯与航行实验(A1)，地面观测实验(A2)，物理化学实验(A3)，微生物实验(A4)，系统检测实验(A5) 和环境效应实验(A6)。对每一实验都要从需要性(C1)、研究性(C2)和发展性(C3)三个方面进行评价。NASA组织了六位专家(D1, D2, D3, D4,
31、D5, D6)对方案实施考察，后因实验时间和条件的限制，通讯航行实验的方案被先行淘汰而退出了选择程序。其评定结果为：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A2533A2344A2344A3212A3221A3112A4344A4535A4535A5455A5452A5451A6121A6113A6223D4C1C2C3D5C1C2C3D6C1C2C3A2413A2444A2155A3231A3122A3312A4545A4555A4544A5324A5332A5433A6152A6213A6221显然，这是一个序数型的多属性群决策问题，下面是两种不同的决策程序。(1) 先综合意见，后
32、统一求解对于被考察的每一种属性Cj，j = 1,2,l，我们有以下序列矩阵其中矩阵元素1,2,n表示决策者k对方案Ai在属性 j上所排的名次。采用任何一种社会选举方法，如Borda方法，可确定各方案关于属性j 的优劣次序。本例中，属性C1的序列矩阵为：C1D1D2D3D4D5D6A2533441A3221213A4355555A5444334A6112122现采用Borda记分法求解，令排名第一至第五位的分值分别为4, 3, 2, 1, 0，可得分值矩阵C1D1D2D3D4D5D6C1DA2022114A210A3334342A319A4200000A42A5111221A58A6443433
33、A621故各方案关于属性C1的优劣次序为：。类似地，可求得各方案关于属性C2和C3的优劣次序分别为：，。故各方案的综合序列矩阵为：C1C2C3A2334A3211A454.55A544.53A6122矩阵中的分值4.5表示方案4和方案5在属性C2上并列第四和第五的位置。然后计算加权的一致性矩阵，式中当方案排在第j位时，；否则。从而有： ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w1+w2w30A3w2+w3w1000A40000.5w2w1+0.5w2+w3A500w3w1+0.5w20.5w2A6w1w1+w2000设w = (0.2, 0.3, 0.5)，则 ji第一位第二位第三位第
34、四位第五位G =A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000采用匈牙利方法可解得其最大分配为： ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000结论：A3 A6 A5 A2 A4。(2) 先个别求解，后综合决策每一位决策者Dk 将采用自己选定的考察属性(C1,C2,Clk )和属性权值 (w1,w2,wlk )对方案进行独立评价。本例中考察属性已被确定为(C1,C2,C3)，但权向量可以自由设计。设决策者D1选
35、用的权向量为w1 = (0.2, 0.3, 0.5)，则其个人的序列矩阵、加权一致性矩阵和排序结果分别为：D1C1C2C3A2533A3212A4344A5455A6121 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w2+w30w1A3w2w1+w3000A400w1w2+w30A5000w1w2+w3A6w1+w3w2000 ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.800.2A30.30.7000A4000.20.80A50000.20.8A60.70.3000故决策者D1的排序结果为：A6 A3 A2 A4 A5。类似地，我们有D2：w2 = (0.3, 0.3, 0.4) A
36、6 A3 A2 A5 A4 或 A6 A3 A4 A2 A5。D3：w3 = (0.2, 0.4, 0.4) A3 A6 A4 A2 A5D4：w4 = (0.3, 0.4, 0.3) A2 A5 A3 A4 A6D5：w5 = (1/3, 1/3, 1/3) A3 A6 A5 A2 A4D6：w6 = (0.3, 0.2, 0.5) A6 A3 A5 A4 A2因为决策者D2 给出了两个不同的排队顺序，故分别综合如下(a) 故方案的排列顺序为：A3 A6 A2 A5 A4。(b) 故方案的排列顺序为：A3 A6 A2 A4 A5。例12. 3 某专家组正负责优秀论文的审评与选拔工作。该专家组
37、由三位专家组成，记为D1, D2, D3，待审的论文为五篇，记为A1, A2, A3, A4, A5。评选工作分两步进行：第一步由每一位专家对论文独立考核，考核指标为理论价值、实用价值和难易程度三个方面，记为C1, C2, C3，其相对重要性商定为0.4, 0.4, 0.2。考核结果以计分的形式(而不是以排序的形式)给出。计分标准为10分制：非常好计10分，优秀计9分，良好计7分，一般计5分，较差计3分，很差计1分，非常差计0分。第二步由专家组集中各位专家的意见，以形成最后的决议。专家的计分结果如下表所示：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A1579A1559A1777A2710
38、7A2977A29105A3753A3535A3535A4355A4157A4559A5997A5975A5977规范方式为：规范矩阵为：D1C1C2C3D2C1C2C3A10.34260.41830.6167A10.34260.39900.5947A20.47960.59760.4796A20.61670.55870.4626A30.47960.29880.2056A30.34260.23940.3304A40.20560.29880.3426A40.06850.39900.4626A50.61670.53780.4796A50.61670.55870.3304D3C1C2C3A10.433
39、30.45960.4626A20.55710.65650.3304A30.30950.19690.3304A40.30950.32830.5947A50.55710.45960.4626(1) 先综合意见，后统一求解首先计算综合的规范性决策矩阵：其结果为DC1C2C3A10.37280.42560.5580A20.55110.60420.4927A30.37720.24500.2888A40.19450.34200.4666A50.59680.51870.4242然后计算加权的规范性决策矩阵：D = dij = wjdij，w = (0.4, 0.4, 0.2)，其结果为 DC1C2C3A10
40、.14910.17020.1116A20.22040.24170.0985A30.15080.09800.0578A40.07780.13680.0933A50.23870.20750.08481简单加权平均法： DC1C2C3A10.14910.17020.11160.4309A20.22040.24170.09850.5606A30.15080.09800.05780.3066A40.07780.13680.09330.3079A50.23870.20750.08480.5310结论：A2 A5 A1 A4 A3。2折衷算法：理想解： A+ = () = (0.2390, 0.2417,
41、0.1116)；反理想解：A= () = (0.0778, 0.0980, 0.0578)；与理想解距离：= (0.1149, 0.0228, 0.1770, 0.1932, 0.0434)；与反理想解距离：= (0.1149, 0.2065, 0.0730, 0.0526, 0.1965)；综合效用值：= (0.5000, 0.9005, 0.2920, 0.2140, 0.8191)。结论：A2 A5 A1 A3 A4。(2) 先个别求解，后综合决策1简单加权平均法：首先由每位专家独立评价，其中对D1而言，其评价过程为D1C1(0.4)C2(0.4)C3(0.2)A10.34260.41830.61670.4277A20.47960.59760.47960.5268A30.47960.29880.20560.3525A40.20560.29880.34260.2703A50.61670.53780.47960.5577 D1：A5 A2 A1 A3 A4类似地，可以求出D2：A2 A5 A1 A3 A4D3：A2 A5 A1 A4 A3然后采用社会选举方法，如Borda方法，求出专家组综合排序结果。其过程为
