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1、基于小波多分辨分析的高阶矩CAPM研究许启发1,2，张世英1（1天津大学 管理学院，天津 300072；2山东工商学院 统计学院，山东烟台 264005）摘 要：为改进传统Beta系数测量系统风险的不足，反映系统风险的动态特征，讨论了四阶矩的资本资产定价模型（CAPM）并将小波分析引入到高阶矩CAPM模型研究中。利用小波多分辨分析的特点，给出了小波高阶中心矩和高阶混合中心矩的定义，基于此给出了多分辨系统风险测度Beta、Gamma、Theta的计算方法和多分辨CAPM。实证结果支持了多分辨系统风险假说和多分辨CAPM的成立，为构建动态投资组合分散金融风险的动态影响提供了经验性证据。关键词：高阶
2、矩；CAPM；小波变换；多分辨Research on Moment CAPM based on Multiresolution Analysis of WaveletXu Qi-fa1,2, Zhang Shi-ying1(1.School of Management, Tianjin University, Tianjin 300072, China; 2.School of Statistics, Shandong Institute of Business & Technology, Yantai Shandong 264005, China;)Abstract: To advance
3、Betas for measuring systematic risk and reflect dynamic character of risk, four moments CAPM and wavelet analysis are discussed at the same time in the paper. Based on multiresolution analysis, the definition of wavelet high central moments and high mix central moments are put forward by us. Further
4、 more, methods for calculating Betas, Gammas and Thetas and multiresolution CAPM are established also. The empirical results sustain the hypothesis of multiresolution systematic risk and multiresolution CAPM, which provide experienced evidence for dynamic portfolio to disperse risk.Key words: High M
5、oments; CAPM; Wavelet Transform; Multiresolution0 引言Markowitz(1952)的均值-方差理论和Sharpe(1964)、Lintner(1965)提出并发展的资本资产定价模型（CAPM）构成了现代投资组合理论的基础。然而，他们的讨论都是集中在收益分布的前两阶矩（一阶矩：均值和二阶矩：方差）基础上进行，假定投资者不在乎高阶矩的存在。事实上，大量的实证研究表明金融资产收益的分布与正态分布相比，不仅是有偏的而且具有高峰特征。忽略这样的典型特征必将导致CAPM的实证表现较差，这促使众多学者将高阶矩引入到投资组合的研究中去（如Samuelson,
6、1970; Ingersoll,1975; Kraus和Litzenberger,1976; Fang和Lai,1997; Dittmar,1999; Soosung和Stephen,1999; Rohan和Mukesh,2001等的工作）13，分别得到三阶矩的CAPM和四阶矩的CAPM，扩展了传统的二阶矩CAPM。另一方面，在利用CAPM进行风险测度和考察收益与风险之间关系时，发现使用不同时间尺度下的收益对Beta系数的估计存在显著影响(Levhari and Levy,1977)；Handa et al(1989,1993)也证实即便是同一只股票如果考虑不同的时间区间会得到不同的Beta估
7、计；Bjornson等(1999)利用谱分解技术也得到类似的结论4；Gencay等(2003)利用小波分解技术得出不同时间尺度下Beta系数的估计差异显著并且收益与风险之间的关系表现也不相同5。凡此种种表明金融风险及收益与风险之间的关系并非服从一个简单的法则，可能存在多分辨特征，即在不同时间尺度下其表现也不同。在讨论传统二阶矩CAPM利用Beta系数进行系统风险识别的基础上，讨论了高阶矩CAPM对系统风险的刻画，将小波分析引入高阶矩CAPM的研究中讨论了多分辨系统风险测度问题。本文基于最大重复离散小波变换(maximal overlap discrete wavelet transform，简
8、记为MODWT)，给出了小波高阶中心矩和高阶混合中心矩的定义，进而给出了多分辨系统风险测度Beta、Gamma和Theta的计算方法，并对上海证券交易所10支股票的多分辨系统风险存在性进行了实证，检验了高阶矩系统风险在资本资产定价中的意义。1 CAPM及其对风险的度量1.1 传统二阶矩CAPM及风险测度Sharpe(1964)和Lintner(1965)给出了标准的CAPM表达(1)式中，为第个资产在时刻的收益率；为无风险资产收益率；为市场组合的收益率；刻画了资产超额收益相对于市场组合超额收益的变化，即系统风险的大小。然而，CAPM是以期望的形式来表示风险与回报之间关系，在实际使用时它需要转化
9、为一种经验上可用的形式。单指数模型恰恰能够满足这种要求，它是描述收益生成过程的统计关系，模型表达如下(2)式中，的含义同前，衡量第个资产对总体市场的敏感程度；是第个资产收益独立于市场组合部分的测度；为随机扰动项，满足白噪声假定且与之间不相关。利用该模型可以计算单个资产或投资组合的Beta系数，即斜率，并且该计算过程相对简单。1.2 高阶矩CAPM及风险测度现在假定有一个理性投资者，假定有一个收益为无风险资产和个收益分别为的风险资产。在这些资产上的投资权重分别为和，并且。我们假定初始投资为1，并且期末的财富用来表示，则期末财富为(3)根据Kraus和Litzenberger(1976)的研究，可
10、以得到期末财富的前四阶矩及其与系统风险测度（即Beta，系统偏度和系统峰度）之间的关系。(4)式中，、和是单个资产对市场方差、偏度和峰度的系统风险的测度，可以通过下式来定义(5)其中，；是市场投资组合收益率。与传统二阶矩CAPM中仅通过Beta系数测量风险不同，这里Gamma系数和Theta系数都是对系统风险的度量。投资者进行投资组合的目标是在一定的约束条件下，使得期望效用最大化，即(6)根据最优化问题，取拉格朗日一阶条件(7)求解，可以得到下面的结果(8)因此，四阶矩的CAPM可以表达为(9)式中，；而，分别为边际替代率，反映系统风险与期望财富之间的的反向替代关系。实证时，我们采取下面的形式
11、估计系数，从而判断各阶协矩是否获得了相应的定价（或在进行资本资产定价时，是否考虑到各阶协矩的影响）。 实证中，选择了实时的我国发行的短期国债利率作为无风险资产收益率。(10)式中，为超额收益；满足白噪声假定。2 基于小波多分辨分析的系统风险测度与高阶矩CAPMPercival等(1994, 1997)提出了MODWT，该变换可以看作离散小波变换(DWT)的一个改进版，一方面，MODWT可以描述非平稳的时间序列；另一方面，基于MODWT的小波方差与小波协方差的估计比基于DWT的更加渐近有效6,7。本文利用MODWT可以将时间序列的方差和协方差在不同的尺度基础上加以分解，实现对金融市场系统风险的多
12、分辨分析(MRA)。以下小波变换均指MODWT，小波系数均指MODWT小波系数。2.1 MODWT及其多分辨分析设是一个包含了时间序列（不妨设，为正整数）个观察值的列向量。对实施MODWT小波滤波器和尺度滤波器，并且对所得结果不进行向下抽样，就得到个向量小波系数和一个向量尺度系数分别为(11)式中，为滤波器长度，；，即和可由级尺度对应的DWT小波滤波器和尺度滤波器得到。式(4)表明级变换系数是一个由个维向量构成的变换，即，向量包含与尺度上的变化相关的级小波系数，向量包含与尺度上的平滑相关的级尺度系数。在实际应用中，小波系数和尺度系数可由MODWT塔式算法实现。Percival等(1997)给出
13、了基于MODWT的多分辨分析 (12)其中为由和生成的MODWT矩阵。由式(5)可以看出，通过级细节和级平滑给出了的多分辨分析。多分辨分析的实质就是将时间序列一次性分解到相互嵌套的顺序子空间中加以研究，从而能够较为细致地刻画时间序列在不同空间中的特性，便于对时间序列本质特征的把握，可以利用图1所示描述小波多分辨分析。图1 多分辨分析图示图1中，其中为尺度空间，为小波空间。2.2 基于MODWT的小波系数的数字特征为刻画两个序列在不同时间尺度上的内在关系，仿照时间序列各阶矩的定义，可以给出小波各阶矩的定义。时间序列在尺度下的小波方差、偏度和峰度（小波阶中心矩）分别定义为 文献68中给出小波方差、
14、小波协方差的估计方法及估计的置信区间。(13)双变量时间序列在尺度下小波协方差、协偏度和协峰度（小波混合中心矩）分别定义为(14)其中和分别为过程与在尺度下的小波系数。小波各阶混合中心矩反映了在各级尺度下，两个时间序列之间的相互关系。因此，可以用来讨论个股变动与市场变动之间的关系，从而刻画多分辨的系统风险。2.3 多分辨Beta，Gamma和Theta的估计和多分辨CAPM为了考察系统风险的多分辨特征，由小波矩的定义，可以给出多分辨Beta、Gamma和Theta在尺度下的计算公式(15)显然，基于小波变换的系统风险测度能够描述不同时间周期（频率）上的风险特征，能够刻画系统风险的动态性 分解频
15、率与时间区间之间的对应关系详见表1。如果我们进行小波分解时不使用二进小波变换，而使用更一般的尺度完全可以实现对动态风险的连续刻画。同时，由于小波变换无须进行时间聚合，从而基于小波变换的多分辨系统风险测度能够有效避免信息的损失 为了检验日度时间序列在不同时间区间上（如周）的特征，通常的办法是对日度数据进行时间聚合，而这样做的结果必然导致有效数据的损失。如： 。由式(15)，可以得到多分辨的CAPM(16)式中，满足白噪声假定。表1 小波分解频率、尺度和时间区间之间关系对照表分解级别尺度频率时期周期111/41/2242221/81/4484341/161/88168481/321/1616321
16、65161/641/323264326321/1281/6464128647641/2561/1281282561283 实证研究3.1 数据的选取与准备为考察上海股票市场的重要行业系统性风险，特选择金融行业的5支股票：浦发银行(PFYH)、民生银行(MSYH)、招商银行(ZSYH)、中信证券(ZXZQ)、安信信托(AXXT)和钢铁行业的5支股票：邯郸钢铁(HDGT)、武钢股份(WGGF)、钢联股份(GLGF)、宝钢股份(BGGF)、莱钢股份(LGGF) 需要指出，本文没有将上海股票市场金融行业、钢铁行业和石油行业的所有股票都作为研究对象。因为有的股票上市交易的时间较短，不符合需要，故没有将其
17、纳入。为了考察总体市场风险，选择上证综合指数（简称上证综指）作为市场组合，其波动代表总体市场波动。样本区间为2003/01/02至2005/4/11，剔除个股除权日和考虑共同的样本区间，实际使用了489个交易日的收盘数据，数据取自鑫网通达信证券分析交易系统。文中收益率由股票价格（或股指）自然对数的一阶差分来计算，。在级尺度下，DWT使用的带通滤波器频率范围为：。将频率范围反转并且乘以适当的时间间隔，便得到在级尺度下对应的时期：。由于使用了交易日的数据，所以小波分析中1级尺度与24天对应，2级尺度与48天对应，7级尺度与128256天对应（见表1）。文中采用长度为8的“最小非对称”(least
18、asymmetric)小波滤波器(Daubechies,1992)69进行MODWT分解，LA(8)小波滤波器一方面具有较大的长度、另一方面具有非对称性，因而能够准确地逼近待分解的金融时间序列。3.2 多分辨系统风险的测度利用MODWT将个股与市场组合的收益在不同时间尺度下进行分解，得到相应的小波系数，进而计算出个股、市场组合的小波高阶中心矩和小波高阶混合中心矩，再由式(15)计算出相应的多分辨Beta系数、Gamma系数和Theta系数，见表2 所以计算结果均是在Matlab6.5下编程完成。为了比较，将原始数据计算出的Beta系数、Gamma系数和Theta系数也列于表2中。图2图3则直观
19、地给出10支股票系统风险在不同时间区间上的变化情况。由表2中的数据及图2可以看出，在1级尺度和2级尺度上计算出来的Beta系数与原始数据计算出来的Beta系数大致相当。除武钢股份(WGGF)、民生银行(MSYH)两支股票的Beta系数在不同时间区间上表现波动较大外，其它各支股票的Beta系数在不同时间区间上略有波动。由表2中的数据及图3可以看出，各支股票无论是原始数据还是在2级尺度及3级尺度上计算出来的Gamma系数非常接近，而在1级尺度上各支股票对应的Gamma系数差距巨大。由表图4可以看出，其变动的规律与图1非常相似，说明Beta系数度量的风险与Theta系数度量的风险存在某种内在的联系。
20、表2 多分辨系统风险测度原始数据尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5尺度6尺度7Beta系数PFYH1.11691.19211.03181.06410.91441.27471.16201.1165MSYH0.90630.87270.78230.94130.97151.44141.91941.8304ZSYH0.98261.06730.92420.86210.83540.84071.06321.1269ZXZQ1.47901.56291.32011.48271.34651.57741.74021.5723AXXT0.92190.94210.78400.96940.90661.52011.07411.0
21、078HDGT0.77480.89960.74760.56040.50270.62200.28910.7063WGGF0.93700.79480.86591.07311.52002.04240.34361.1103GLGF0.97611.04920.97420.88750.64230.73850.74721.3115BGGF0.95010.96181.01090.90120.89000.72360.64460.6847LGGF0.81740.75500.87680.84670.80810.91810.85871.2480Gamma系数PFYH1.38907.16370.87870.64832.
22、37720.50442.99411.3868MSYH0.88083.52580.55440.99073.45540.79291.88201.6251ZSYH1.246310.81600.91790.63000.62821.28831.49741.1036ZXZQ1.25155.91391.23330.72050.34901.52312.49491.2249AXXT0.7480-8.32720.82430.8580-0.05610.43341.31641.1304HDGT0.8250-1.52200.76580.64671.00860.0129-0.40690.6613WGGF1.324412.
23、37300.40530.8901-0.7279-0.44561.23322.4304GLGF0.9458-0.69350.87210.74101.39830.2400-0.73960.5654BGGF1.13242.61600.81351.05350.64391.1099-0.43890.5154LGGF0.6510-2.65350.89700.9858-0.13801.1533-0.63060.7529Theta系数PFYH1.11981.29150.90810.98360.83591.21441.29461.1500MSYH0.81410.84300.89191.02200.86871.2
24、6571.98011.8018ZSYH1.01671.14490.90710.81690.87700.74091.10971.2065ZXZQ1.34021.48031.03351.35860.94461.52331.60411.5877AXXT0.88090.95050.78741.03210.84941.50911.11541.0322HDGT0.75500.83850.68500.60020.43840.73890.25380.7784WGGF0.93900.69990.91780.90952.14492.76130.53181.1904GLGF0.97710.94460.84210.8
25、6390.59190.79890.56931.2896BGGF0.92160.76860.96560.91891.03090.72950.57140.5465LGGF0.73720.57600.83240.87510.83090.98450.77721.2089图2 10支股票多分辨Beta系数图3 10支股票多分辨Gamma系数图4 10支股票多分辨Theta系数3.3 多分辨资本资产定价检验由前面的讨论，我们已经知道系统风险存在着多分辨现象，即在不同的时间区间上同一股票所对应的系统风险大小并不一致，因此在构建投资组合分散风险时，必须考虑时期因素。接下来讨论各是否按照系统风险的大小进行了定价
26、，或者投资者由于承担这样风险是否能够获得相应的报酬？为此，在不时间同尺度下，将个股平均收益组成的序列对Beta系数、Gamma系数和Theta系数所组成的序列按照式(16)进行线性OLS估计，结果见表3。表3 风险与收益之间关系估计原始数据尺度1尺度2尺度3尺度4尺度5尺度6尺度70.00103-0.000010.000040.00002-0.000010.00000-0.00001-0.000020.004000.000010.000210.000290.000130.00001-0.000190.00085(6.57784)(12.10900)(2.77130)(2.48590)(2.42
27、430)(30.82900)(-4.99050)(4.50655)-0.000240.00000*-0.000080.00000*-0.000010.00003-0.000040.00009*(-32.71495)(0.00031)(-3.52610)(0.00000)(-4.70050)(3.33370)(-3.16810)(0.60684)0.004470.00000*0.000220.00031-0.000070.000010.00026-0.00084*(7.62651)(0.00005)(3.39250)(2.76980)(-3.01520)(34.77100)(4.14100)(-
28、0.53049)0.692620.670870.551710.543540.653910.690840.688480.75387注：括号中为检验值；*为10%显著性水平下不显著。由表3的结果可知，二阶矩的系统风险在所有的尺度上和原始数据中都有显著的定价表现；三阶矩的系统风险在1级尺度、3级尺度和7级尺度上没有获得相应的定价；四阶矩的系统风险在1阶尺度和7级尺度上没有获得相应的定价。仅由原始数据，各阶矩所刻画的系统风险都获得相应的定价，难以体现不同时间尺度上各阶矩系统风险的定价情况。我们的实证结果恰恰显示，高阶矩的系统风险在某些时间尺度上没有获得相应的定价。4 结束语过去，时间序列的一阶矩（期望
29、价格或收益）和二阶矩（方差）受到了普遍的重视，相关研究成果层出不穷。最近，一些学者发现金融市场建模中如果忽略更高阶矩（如偏度和峰度等）的影响，可能会产生偏误甚至导致错误的结论。本文的结果显示，金融市场高阶矩风险存在多分辨现象，高阶矩风险对资本资产定价有显著影响，这种影响也具有多分辨特征。为此需要构建动态投资组合以分散风险，这势必会推动矩序列持续性(persistence)和协同持续性(copersistence)的研究。参 考 文 献1 Kraus A., Litzenberger R. Skewness preference and the valuation of risk assetsJ
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