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1、讲 授 内 容备 注第十九讲3、在不等式两端取变限积分证明新的不等式例15 证明：当时，证 已知， （，只有时，等号成立）在此式两端同时取上的积分，得再次取上的积分，得 第三次取上的积分，得 所以 上式再在上的积分，得 即 再在上的积分，得 例16 设是上连续的凸函数试证：，有 证 令，则同理，令，则从而注意到与关于中点对称，又为凸函数，所以另一方面，由（1）式及的凸性 例17 设函数在上递增试证：函数为凸函数证 在上递增， 所以，为凸函数例18 设，在上连续，且，在上有定义，并且有二阶导数，试证：证I （利用积分和）将区间等分，记，为凸函数由詹禁定理，取 ，即 令，得证II （利用公式）记
2、则 注意 ， 在上式中，令，然后两边乘以 ，得在上取积分即 其中 4.5 不等式一、不等式及不等式1不等式设为任意实数，则 （不等式）其中等号当且仅当与成比例时成立证1（判别式法）上式是关于的二次三项式，保持非负，故判别式证II（配方法）因此，不等式成立等号成立当且仅当，证III（利用二次型）即关于的二次型，非负定，因此即 2不等式设在上可积，则若在上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得时成立（不同时为零）3不等式的应用例1 已知，在上连续，为任意实数求证：证 第一项应用不等式：同理 （1）+（2）： 例2 设在上有连续的导数，试证：证 令则 由，知因此， 例3 设在上有连续的阶导数，且求证：其中证 先证明的情况此时设在上有连续的导数，下证 令 由不等式： 两端同时积分 两边同时开方：对一般情况，令 例4 设，在上连续，不恒为零，有正的下界记 试证： 证 只需证明存在先证单调增 即 再证有界因为在上连续，所以 使得故 既然单调有界，存在极限二、平均值不等式基本形式：对任意个实数，恒有（即几何平均值算术平均值）其中等号成立当且仅当例5 设正值函数在上连续试证：证 由条件知在上可积，将等分，作积分和3学时几何解释：方法III可推广不等式的积分形式称为不等式第二项积分值大于零10
