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1、第八章 复合材料结构分析有限元法,8.1 引言8.2 考虑剪切效应的层合梁单元8.3 具有离散克希霍夫假定的层合板单元（DKT）8.4 考虑剪切效应的分项插值单元8.5 以一阶剪切理论为基础的Panda单元8.6 层合板的三维单元8.7 分层分析理论为基础的有限层单元,8.1 引言一.分类 根据板的理论, 复合材料层合板的有限元，可分为:（1）以Kirchhoff假定的一阶理论层合板单元（2）以Reissner-Mindlin假定的一阶剪切层合板单元（FOSDLT）（3）以高阶理论为基础的层合板单元（HOSDLT）（4）以分层转化理论为基础的层合板单元（5）以三维理论为基础的层合板单元若以变分
2、原理分类又可分为：（1）以势能原理为基础的位移元（2）以余能原理为基础的应力元（3）以广义变分原理为基础的混合元或杂交元,二. 考虑一阶剪切变形Mindlin理论的势能和余能表示式(1) 势能表达式：,（1）,(2) 余能表达式,（2）,三. 广义变分原理,(1) Hellinger Reissner原理（二变量）,(2) 胡海昌-鹫津广义变分原理（三变量）,符号规定,7.2 考虑剪切效应的层合梁单元,以直角梁断面为例一维问题，设 （1）位移场表达式,（3）,（2）应变表达式 （a）面内,（b）出平面,将（3）代入上式， 得,（3）单层板的本构关系 对第K层板整体坐标应力应变关系，并注意,（a
3、）面内,（4）,（b）出平面,上式可约化为,（7）,其中,（8）,（4）层合梁本构关系（a）面内,（5）势能表达式,（11）,（12）,（13）,（14）,（15）,（16）,（c）设 W 用 Hermet 插值,应变节点位移阵,刚度阵,节点位移向量,（20）,（d）在单刚装配时必须先凝聚掉 则最后节点位移向量为:,节点位移向量,设节点位移向量分成两部分,若 面内应变节点位移阵为 弯曲应变节点位移阵为 则,（22）,将（22）式代入（21）式,（23）,（27）,（3） 阵的确定,（28）,弯曲能量表达式中包含 的导数项，故其插值函数要求满足沿边界上曲率，位移及转角（0，1，2）连续，其次,必
4、须避免Shear Locking现象.令0为形心，边中点分别为4，5，6。设仅在节点1，2，3，4，5，6上满足 Kirchhoff 假定，即:,（29）,（b）建立 边中点的转角与两端点转角的关系 若任选一个边，其两端节点为 i，j，边中点为m，引入局部坐标，令 w 在 ij 边按 Hermite 插值，即,（30）,若设 沿 ij 边线性插值,（33）,在 S=0.5 处为 m点,（34）,由（32）与（34）可合并写为:,（35）,（36）,（37）,同理可得,（38）,将（38）代入（29）式,（39）,（40）,（4）几何刚度阵,（41）,代入（41）可得,（42）,7.4 考虑剪切
5、效应的分项插值单元,设应变位移阵为,（45）,其中,将（45）代入（43），并对节点位移向量 变分得,(46),其中,b、单刚的秩,其中 为权系数, D为弹性阵，其dd，秩为d。,2D d = 3 3D d = 6 轴对称 d = 5 B 应变节点位移向量，其尺寸 , 为节点未知数（自由度）,故 秩为d,为高斯积分阶数。,故 , 秩为,若结构由M个单元组成则总刚度阵的秩为:,（47）,为总刚度非奇异性判别准则。（M为单元总数）,（3）数例 以四与八节点平面等参元为例 d=3 每节点两个自由度 (黑字为非奇异, 红字为奇异),四节点 ( hg=1) 八节点( hg=2),(a),(b),(c),
6、奇异,奇异,奇异,非奇异,非奇异,非奇异,（4）简易刚度阵秩的判别准则 构造考虑剪切效应板单元，若仅判别单刚奇异性，可采用如下简易判别条件，即：,奇异 （48）,J 为增加一个单元形成的自由度的增加d 为弹性阵的秩 为高斯积分阶数,其假定原结构单元总刚是满秩，在此基础上再增加一单元，去判别此单元增加后引起秩的变化。 该方法计算秩可能偏大，因为在边界上增加一单元，其节点自由度的增加。将小于j,（5）例 构造考虑剪切效应单元,黑字为非奇异, 红字为奇异,结论（1）三种Lagrange（LR，QLR，CLR）减缩积分比Serendipity单元 （QSR，CSR）有更好的性能。而QSR剪切刚度阵为奇
7、异。总刚度 阵为非奇异，而CSR也经常剪切刚度阵为非奇异，故经常出现剪切 Locking现象。（2） 对厚板这两种积分都将得到较好的结果。,7.5 以一阶剪切理论为基础的Panda单元 本单元是在采用等参分项插值基础上，再引入厚度概念（Thickness Concept）是一种退化单元。 设一八节点壳单元，每节点仍为五个自由度。（1）由等参定义设,（51）,（2）由三维弹性力学本构关系（令 ，对本构方程约化） ， 即,（51）,（3）势能原理与单元刚度阵,（52）,由几何关系可知,（53）,则,（54）,将（53）（54）代入（52）得,（55）,n为层板总层数。,（4）例 0/90/90/0
8、，等厚简支方板，,外载:,力学性能如下:,7.6 层合板的三维单元（20节点块体元）,分别为满足边界条件的位移函数。,此函数满足,参 考 资 料,高阶理论有限元付晓华，陈浩然. 复合材料多层厚板精化高阶理论及其有限元法，复合材料学报，1992，vol. No. 2；陈浩然，温玄玲，含分层损伤轴对称层合壳的高阶理论有限元分析，大连理工大学学报，vol. 39，No. 5. P601. 张依芬，温玄玲，陈浩然，含分层损伤复合材料层合板的精化有限元法，大连理工大学学报，vol. 37，NO. 4 P398，1997. Global-Local有限元法Shi yibing, Chen Haoran.
9、Mixed finite element for thicker laminate shell analogies of composite laminates. Composite structures. Vol.20. No.3.1992Hamilton理论为基础有限元法Chen Haoran, Yang Zhenglin etc. process-induced stress analogical composite laminates using semi-analytical Hamilton method. Composite Structures, Vol.41, No. 9. P49-55. (998) 拟协调元层合板有限元法陈浩然，衣翃， 复合材料层合板拟协调单元，复合材料学报，Vol. 4，No.1 1987陈浩然，衣翃，复合材料层合板壳通用单元和等网格加筋板壳的局部稳定性，航空学报，vol. 9, NO.3 Pa177,
