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1、24.1 圆的有关性质24.1.1 圆,R九年级上册,状元成才路,新课导入,这些图片中都有哪种图形？,圆,状元成才路,(1)能叙述圆的描述性定义和集合观点定义. (2)知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并能结合图形描述它们.,状元成才路,推进新课,如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆,r,O,A,固定的端点 O 叫做圆心；,线段 OA 叫做半径；,以点 O 为圆心的圆，记作O，读作“圆O”,圆的概念,知识点1,圆的定义,状元成才路,同心圆,等圆,圆心相同，半径不同,确定一个圆的两个要素:,一是圆心，,二是半径,半径相同，圆
2、心不同,O,状元成才路,问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？,r,O,A,状元成才路,形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆,集合性定义(静态)：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合,状元成才路,经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB,连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC,弦和直径的定义,C,O,A,B,半径是弦吗？,知识点2,与圆有关的概念,状元成才路,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
3、都叫做半圆,C,O,A,B,弧,状元成才路,劣弧与优弧,C,O,A,B,状元成才路,例1 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的圆上.,典例解析,证明：四边形ABCD为矩形，OA=OC= AC,OB=OD= BD.又AC=BD，OA=OC=OB=OD.A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA为半径的圆上.,状元成才路,随堂演练,基础巩固,1.下列说法正确的是( )A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦,D,状元成才路,2.下列说法中，不正确的是( )A.过圆心的弦是圆的直径B.等弧的
4、长度一定相等C.周长相等的两个圆是等圆D.长度相等的两条弧是等弧,D,状元成才路,3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是 cm.4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的图形是 .5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线相交于点C，且有DC=OE，若C=20，则EOB的度数是 .,5,圆,60,状元成才路,6.已知：如图，在O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD求证：OC=OD证明：OA、OB为O的半径，OA=OB. A=B.又AC=BD，ACOBDO.OC=OD.,状元成才路,7.已知：如图，在ABC中，C=90，求证：A、B、C三
5、点在同一个圆上.证明：作AB的中点O，连接OC.ABC是直角三角形.OA=OB=OC= AB.A、B、C三点在同一个圆上.,综合应用,状元成才路,8.求证：直径是圆中最长的弦.证明：如图，在O中，AB是O的直径，半径是r.CD是不同于AB的任意一条弦.连接OC、OD，则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD.在OCD中，OC+ODCD，ABCD.即直径是圆中最长的弦.,拓展延伸,状元成才路,课堂小结,圆的基本概念,圆的定义,与圆有关的概念,形成性定义：,集合性定义：,弦：直径：圆弧（弧）：半圆：等圆、等弧：优弧、劣弧：,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A
6、所形成的图形叫做圆.,圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点O的距离等定长r的点的集合.,连接圆上任意两点的线段叫做弦.,直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦.,圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧 都叫做半圆.,能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.,大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.,状元成才路,课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,状元成才路,24.1.2 垂直于弦的直径,R九年级上册,状元成才路,新课导入,圆是轴对称图形吗？,状元成才路,(1)能通过折纸探究圆的对
7、称性，能证明圆是轴对称图形.(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.(3)能利用垂径定理解决相应问题.,状元成才路,推进新课,什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？,回 顾,知识点1,圆的轴对称性,状元成才路,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形,线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形,正方形,圆,状元成才路,用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,探究,状元成才路,圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.,圆有
8、哪些对称轴？,O,如何来证明圆是轴对称图形呢？,状元成才路,是轴对称图形,大胆猜想,已知：在O中，CD是直径， AB是弦， CDAB，垂足为E,左图是轴对称图形吗？,满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？,状元成才路,证明：连结OA、OB.则OAOB又CDAB，直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即O关于直线CD对称.,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.,状元成才路,知识点2,垂径定理及其推论,状元成才路,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理,状元成才路,下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？,图1,
9、图2,图3,图4,状元成才路,CD是直径，AB是弦，CDAB,过圆心垂直于弦,平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,垂径定理,状元成才路,推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,状元成才路,N,O,A,B,M,C,D,注意,为什么强调这里的弦不是直径？,状元成才路,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.,注意,两,三,状元成才路,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直
10、径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦,垂径定理的推论,状元成才路,垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形,d + h = r,r,有哪些等量关系？,状元成才路,例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥, 距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离
11、)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).,A,C,B,D,O,37,7.23,18.5,R,R-7.23,状元成才路,解：设赵洲桥主桥拱的半径为R. 则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：R27.3 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.,A,C,B,D,O,37,7.23,18.5,R,R-7.23,状元成才路,随堂演练,基础巩固,1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴,B,状元成才路,2.如图，O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中
12、错误的是( )A.AOD=BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC3.半径为5的O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .,C,10,6,状元成才路,4.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E. 求证：四边形ADOE是正方形.证明：ABAC，ODAB，OEAC.四边形ADOE是矩形.又OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,ABAC,四边形ADOE是正方形.,状元成才路,5.如图，在半径为50mm的O中，弦AB的长为50mm.求：(1)AOB的度数；(2)点O到AB的距离.解：(1)OA=OB=AB=50mm，AOB是等
13、边三角形，AOB=60.(2)作OMAB，则AOM= AOB=30.在RtAOM中，AM= AB=25mm.,状元成才路,6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是O中弦CD的中点，EM经过圆心O交O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求O的半径.解：连接OC.OM平分CD,OMCD且CM=MD= CD=2m.设半径为r，在RtOCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= .即O的半径为 m.,状元成才路,7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB300m，C是AB上
14、一点，OCAB，垂足为D，CD45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.OCAB，AD=BD= AB=150m.在RtODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.,状元成才路,8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OEAB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE，即AC=BD.,状元成才路,9.O的半径为13cm，AB、CD是O的两条弦，ABCD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.,综合应用,状元成才路,解：分两种情况
15、讨论.第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.如图(1)，过点O作OMCD，垂足为M，交AB于点E.ABCD. OEAB.连接OB、OD.EMOM-OE7cm.,状元成才路,第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，EM=OM+OE=17cm.即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.,状元成才路,10. 如图，AB和CD分别是O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果ABCD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？,拓展延伸,状元成才路,解：OMON.理由如下：连接OA、OC.则OAOC.ONCD,OMAB,又ABCD,
16、CNAM, CN2AM2.在RtOCN和RtOAM中，OM2OA2-AM2,ON2OC2-CN2,OM2ON2. OMON.,状元成才路,课堂小结,垂径定理,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答.,状元成才路,课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,状元成才路,24.1.3 弧、弦、圆心角,R九年级上册,状元成才路,新课导入,问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题2：把圆绕着
17、圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？,这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.,状元成才路,(1)知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.,状元成才路,推进新课,圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?,圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心,思考,知识点1,圆的旋转不变性及圆心角,状元成才路,圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角,AOB为圆心角,状元成才路,判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.,【对应练习】,状元成才路,任意给
18、圆心角，对应出现三个量：,圆心角,这三个量之间会有什么关系呢？,探究,知识点2,弧、弦、圆心角之间的关系,状元成才路,如图，在O中将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？,显然AOBAOB,ABAB,B,A,探究,状元成才路,ABAB,如图，在等圆中，如果AOBAOB，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？,由AOBAOB得到,探究,状元成才路,圆心角定理,在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.,状元成才路,定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？,思考,状元成才路,同样，还
19、可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_， 所对的弦_；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弧_,同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等,状元成才路, 圆心角 弧 弦,知一得二,理解,状元成才路,如图，AB、CD是O的两条弦.（1）如果AB=CD，那么 ， .（2）如果 ，那么 ， .（3）如果AOB=COD，那么 ， .（4）如果AB=CD，OEAB，OFCD， OE与OF相 等吗？为什么？,【对应练习】,AOB=COD,AB=CD,AOB=COD,AB=CD,相等.,状元成才路,如图，在O中，
20、AB =AC，ACB=60， 求证：AOB=BOC=AOC,例3,状元成才路,在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗?, 圆心角 弧 弦 弦心距,知一得三,思考,状元成才路,随堂演练,基础巩固,1.如图，AB是O的直径，BC=CD=DE,AOE=72，则COD的度数是( )A36 B72 C108 D482.如图，已知AB是O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则COD= .,A,60,状元成才路,3.如图，在O中，点C是AB的中点，A=50，则BOC= ,40,状元成才路,4.如图，在O中，AB=AC，C=75，求A的度数.解：AB=AC，AB=AC.B=C=75，A=180-
21、B -C=30.,状元成才路,5.如图，在O中，AD=BC，求证：AB=CD.证明：AD=BC.AD=BC.AD+AC=BC+AC,即CD=AB.AB=CD.,状元成才路,6. 如图，A,B是O上的两点，AOB=120，C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形.,综合应用,状元成才路,证明：C是AB的中点，AC=BC，AC=BC,AOC=BOC= AOB=60.又OA=OC=OB,AOC与BOC是等边三角形. A=60.又AOB=120, ACOB.AC=OC=OB,四边形OACB是平行四边形.又OA=AC,四边形OACB是菱形.,状元成才路,7.如图，在O中，弦AB与CD相交于点E，AB=
22、CD(1)求证：AECDEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由,拓展延伸,状元成才路,(1)证明：连接AD.AB=CD, AB=CD. AB-AD=CD-AD.即BD=AC. BD=AC.在ADB和DAC中，ADBDAC(SSS).,ABDDCA.在AEC和DEB中，DCAABD,AECDEB,AC=BD,AECDEB(AAS).,状元成才路,(2)解：对称.理由：连接OB、OC.则OB=OC.由(1)知BE=CE，连接BC，则OE垂直平分BC.点B与点C关于直线OE对称.,状元成才路,课堂小结,1.四个元素： 圆心角、弦、弧、弦心距,2.四个相等关系：, 圆心角 弧 弦 弦心距
23、,状元成才路,课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,状元成才路,24.1.4 圆周角,R九年级上册,状元成才路,新课导入,如图，把圆心角AOB的顶点O拉到圆上，得到ACB.问题1：ACB有什么特点？它与AOB有何异同？问题2：你能仿照圆心角的定义给ACB取一个名字并下定义吗？,A,B,O,C,状元成才路,(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.,状元成才路,推进新课,知识点1,圆周角的定义及圆周角定理,1.圆心角的定义?,顶点在圆心的角叫圆心角.,2.图中ACB 的顶点和
24、边有哪些特点？,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角,状元成才路,图中圆周角ACB 和圆心角AOB 有怎样的关系？,探究,先猜一猜，再用量角器量一量.,状元成才路,（1）在圆上任取BC，画出圆心角BOC 和圆周角BAC，圆心角与圆周角有几种位置关系？,状元成才路,（2）如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？,第一种情况：,状元成才路,证明：如图，连接 AO 并延长交O 于点 DOA=OB，BAD=B又BOD=BAD+B，,第二种情况：,同理，,D,状元成才路,请同学们自己完成证明.,第三种情况：,状元成才路,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,圆周角定理：,状元成才
25、路,如图，O是ABC的外接圆，OCB50，则A等于( ) A.40 B.50 C.60 D.70,【对应训练】,解析：O是ABC的外接圆，OB=OC,所以OBC=OCB=50，BOC=80，A= BOC= 80=40.,A,状元成才路,在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.,上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？,A,B,O,C,那么，圆周角与弧、弦有什么关系吗？,状元成才路,知识点2,圆周角定理的推论,根据圆周角定理可知，,同弧所对的圆周角相等,A,D,B,C,O,同弧：,证明：,状元成才路,.,如
26、图，作出两弧所对应的圆心角.根据圆周角定理可知，,等弧所对的圆周角相等,等弧：,BDC=CAE,状元成才路,同弧或等弧所对的圆周角相等,推论1：,显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.,状元成才路,下列说法是否正确，为什么？“在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”.,D,B,C,O,E,.,一条弦所对应的圆周角有两个.,这两个角有什么关系吗？,如图所示，连接BO、EO.,显然，C与D所对应的圆心角和为 ，所以根据圆周角定理可知C+D = .,360,180,在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补.,状元成才路,半圆（或直径）所对的圆周角有
27、什么特殊性？,思考,所对应的圆心角为 ，则对应的圆周角为 .,180,90,状元成才路,半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.,推论2：,状元成才路,例4 如图，O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，ACB 的平分线交O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长,解：连接 OD.,AB 是O 的直径，ACB=ADB=90在 RtABC 中，,10,6,状元成才路,10,6,CD 平分ACB，ACD=BCD， AOD=BOD AD=BD 在 RtABD 中， AD2+BD2=AB2 ，,AD=BD=,=（cm）,8,状元成才路,如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，
28、这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.,知识点3,圆内接多边形,如图所示，四边形ABCD是O的内接四边形， O是四边形ABCD的外接圆.,状元成才路,圆内接四边形的四个角之间有什么关系？,思考,BAD+ABC+BCD+ADC =360,圆内接四边形的对角 .,互补,状元成才路,随堂演练,基础巩固,1.下列四个图中，x是圆周角的是( ),C,状元成才路,2.如图，O中，弦AB、CD相交于E点，且A=40，AED=75，则B=( )A.15 B.40 C.5 D.35,D,状元成才路,3.如图，O的直径AB与弦CD垂直，且BAC=40，则BOD= .4.如图，点B、A、C都在O
29、上,BOA110，则BCA .,80,125,状元成才路,5.如图，O中，弦AD平行于弦BC，AOC=78，求DAB的度数解：ADBC， DAB=B. 又B= AOC=39. DAB=39.,状元成才路,6.如图，O的半径为1，A,B,C是O上的三个点，且ACB=45，求弦AB的长.解：连接OA、OB.ACB=45,BOA=2ACB=90.又OA=OB, AOB是等腰直角三角形.,状元成才路,7.如图，A,P,B,C是O上的四点，APC=CPB=60，判断ABC的形状并证明你的结论.解：ABC是等边三角形. 证明如下：APC=ABC=60， CPB=BAC=60，ACB=180- ABC-BA
30、C=60，ABC是等边三角形.,状元成才路,8.如图，已知A，B，C，D是O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE求证：ADE是等腰三角形证明：A+BCD=180, BCE+BCD=180. A=BCE. BC=BE, E=BCE, A=E, AD=DE, ADE是等腰三角形.,状元成才路,9.如图，已知EF是O的直径，把A为60的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止设POF=x，则x的取值范围是 ,综合应用,30 x60,状元成才路,10.如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动
31、点(点F不与B、C重合)，A是BF上的中点，设FBC=，ACB=(1)当=50时，求的度数;(2)猜想与之间的关系，并给予证明.,拓展延伸,C,状元成才路,解：(1)连接OA，交BF于点M.A是BF上的中点，OA垂直平分BF.BOM=90-B=90-=40.C= AOB= 40=20,即=20.(2)=45- .证明：由(1)知BOM90-.又C AOB, (90-)45- .,状元成才路,课堂小结,圆周角,圆周角的定义：,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角.,圆周角定理及其推论：,定理:,推论,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,同弧或等弧所对的圆周角相等,半圆（或直径）所对的圆周角
32、是直角，90的圆周角所对的弦是直径.,圆内接四边形：,圆内接四边形的内角和为360,并且四边形的对角互补.,状元成才路,课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,状元成才路,24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系,R九年级上册,状元成才路,新课导入,问题：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？,状元成才路,(1)知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.(2)知道不在同一直线上的三点确定一个圆， 能过不在同一直线上的三点作圆.(3)知道三角形外心的概念及其性质.(4)了解反证法的证明思想及一般步骤
33、.,状元成才路,推进新课,r,C,O,A,B,OC r,观察图中点A，B，C与圆的位置关系.设O半径为 r , 说出A，B，C到圆心O的距离与半径的关系：,点C在圆外,点A在圆内,点B在圆上,OA r,OB = r,知识点1,点和圆的位置关系,状元成才路,设O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：,r,O,A,反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？,P,P,P,d = r,d r,d r,点P在圆内,点P在圆上,点P在圆外,状元成才路,设O的半径为r，点到圆心的距离为d，则,点和圆的位置关系,点在圆内,dr,点在圆上,点在圆外,dr,d r,O,位置关系 数
34、量关系,状元成才路,如图所示，在RtABC中，ACB=90，CDAB，A= 30，AC=3cm.以C为圆心， 半径为 cm画C，请指出点A、B、D与C的位置关系.,【对应训练】,3,30,状元成才路,解：在RtACD中，A=30，点B在C上；,由勾股定理得，AB=2 cm，BC= cm.,CD cm，点D在C内;,3,30,CD= AC= 3=1.5(cm).,AC=3cm cm，点A在C外.,状元成才路,知识点2,确定圆的条件,1. 作经过已知点A的圆，你能作出多少个圆？圆心在哪里？半径多大？,A,无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.,已知圆心和半径，可以作一个圆.,状元
35、成才路,2. 作经过已知点A、B的圆，你能作出多少个？圆心在哪里？,无数个，它们的圆心在线段AB的垂直平分线上.,以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以这点到A或B的距离为半径作圆.,状元成才路,3. 经过同一平面内三个点作圆，情况会怎样呢？,经过不在同一直线上的三点A、B、C能作出几个圆？圆心在哪里？,不在同一直线上的三个点确定一个圆.,B,C,A,O,状元成才路,经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.,B,A,O,C,想一想：一个三角形有 个外接圆，而一个圆有 个内接三角形.,一,无数,状元成才路,过同一直线上的三点可以作圆吗？
36、,思考,怎么证明？,不能,状元成才路,证明：过同一直线上的三点不能作圆.,知识点3,反证法,状元成才路,证明：假设过同一直线上的三点可以作圆.则该圆的圆心到A、B、C三点的距离都相等，即圆心是线段AB、BC垂直平分线的交点.分别作AB、BC垂直平分线l1、l2.显然l1l2，l1与l2无交点，故产生矛盾.所以假设不成立.即过同一直线上的三点不能作圆.,状元成才路,反证法的步骤：,（1）假设原命题不成立；,（2）以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）；,（3）得出假设不成立，从而原命题成立.,状元成才路,用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.,分析：由题目分析，“一定是锐角”
37、的反面就是“不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种情况讨论.,【对应训练】,状元成才路,已知：在ABC中，AB=AC，求证：B,C一定是锐角.,证明：假设B,C不是锐角，则B,C是直角 或钝角.（1）若B,C是直角，即B=C=90， 故A+B+C 180, 这与三角形的内角和定理矛盾， 所以B,C不是直角.,状元成才路,（2）若B,C是钝角，即B=C 90， 故A+B+C 180, 这与三角形的内角和定理矛盾， 所以B,C不是钝角. 综上所述，B,C不是直角也不是钝角， 即B,C是锐角， 所以等腰三角形的底角一定是锐角.,状元成才路,随堂演练,基础巩固,1.判断下列说法是否正确：(1) 任意
38、的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3) 经过三点一定可以确定一个圆.( )(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( ),状元成才路,2.O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 3.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形,圆内,圆上,圆外,B,状元成才路,4.如图，分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，它们的外心位置有什么特点？,三角形内部,三角形斜边中点处
39、,三角形外部,状元成才路,5.爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离是否安全？为什么？解：由题意可知，导火索燃烧完需180.9=20(S).又点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，则导火索燃烧完时撤离的最大距离为6.520=130(m).130120，安全.,综合应用,状元成才路,6.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示为复制该瓷盘要确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、B
40、C的垂直平分线；(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.,拓展延伸,A,B,C,状元成才路,课堂小结,点和圆的位置关系,点和圆的位置关系,点在圆内,dr,点在圆上,点在圆外,dr,d r,确定圆的条件：,不在同一直线上的三个点确定一个圆.,反证法：,反设，推导出矛盾，下结论,状元成才路,课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,状元成才路,24.2.2 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系,R九年级上册,状元成才路,新课导入,情景：如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？,
41、问题：直线和圆有几种位置关系？怎样判断直线和圆的位置关系？,状元成才路,(1)知道直线和圆的位置关系及有关概念.(2)会从公共点的个数或d和r的数量关系判定直线和圆的位置关系.,状元成才路,认识直线和圆的位置关系,点和圆的位置关系有哪几种？,回顾：,设O的半径为r，点到圆心的距离为d.则：,点在圆内,dr,点在圆上,点在圆外,dr,d r,.O,推进新课,直线和圆的位置关系有哪几种？,知识点1,状元成才路,把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注意观察直线与圆的公共点的个数.,a(地平线),直线和圆的公共点个数有 种情况.,海上日出,探究1,3,状元成才路,按直线与圆的公共点的个数可分为：,个
42、公共点,0,个公共点,1,个公共点,2,直线与圆的位置关系,状元成才路,探究2,把钥匙环看作一个圆,把直尺边缘看成一条直线. 固定圆,平移直尺.,直线和圆分别有几个公共点?,两个公共点,没有公共点,一个公共点,状元成才路,0个公共点,1个公共点,2个公共点,直线与圆相离,直线与圆相切,直线与圆相交,切线,.,切点,割线,现在你能总结出直线与圆的位置关系了吗？,.,.,交点,状元成才路,已知，直线与圆的位置关系有 种，分别是 、 、 .,判断直线和圆的位置关系,知识点2,3,相离,相切,相交,怎么判断直线和圆的位置关系呢？,状元成才路,快速判断下列各图中直线与圆的位置关系.,l,l,.O2,l,
43、l,.,1),2),3),4),相交,相切,相离,直线l与O1 .,直线l与 O2 .,O,相离,相交,状元成才路,从直线与圆公共点的个数可以判断出直线与圆的位置关系.,方法一：,还可以怎么判断直线和圆的位置关系？,状元成才路,过直线外一点作这条直线的垂线段, 垂线段的长度叫点到直线的距离.,状元成才路,如图，设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.则d与O的半径r的大小有什么关系?,r,d,r,d,相离,相切,d r,d r,=,你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?,r,d,相交,d r,状元成才路,设O的半径为r，圆心到直线的距离为d.则,点在圆内,dr,点在圆上,点在圆外
44、,dr,d r,.O,l1,l2,l3,d,d,d,r,方法二：,状元成才路,判定直线与圆的位置关系的方法有_种：,（1）根据定义，由_的个数来判断；,（2）由 大小关系来判断.,在实际应用中，常采用第二种方法判定.,两,直线与圆的公共点,圆心到直线的距离d与半径r,归纳,状元成才路,随堂演练,基础巩固,1.已知O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与O的位置关系是( )A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断2.直线l与半径为r的O相离，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )A.r6 B.r=6 C.r6 D.r6,C,A,状元成才路,3.O的半径为4cm，圆心O到直线l
45、的距离为4cm，则直线l与O的位置关系为 .4.如图，在RtABC中，C=90，A=60，BC=4cm，以点C为圆心，3cm长为半径作圆，则C与AB的位置关系是 .,相切,相交,状元成才路,5.如图，已知AOB=30，M为OB边上一点，OM5cm，以点M为圆心，r为半径的M与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r2cm;(2)r4cm;(3)r2.5cm.,状元成才路,解：过M作MNOA,垂足为N.AOB=30,MNO=90,MN= OM=2.5cm.所以(1)M与直线OA相离，因为rMN.(3)M与直线OA相切，因为r=MN.,状元成才路,6.已知O的半径为 ，直线l与点O的距离为d，若
46、直线l与O有公共点，则( ) A.d B.d= C.d D.d7.直线l 和O有公共点，则直线l与O( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交,综合应用,D,D,状元成才路,8.如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，点B的坐标为(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心D的坐标为 .解析：若与OA,AB,BC三条边相切，D的坐标为（3,1）；若与OA,BC,CO三条边相切,D的坐标为（1,1）；若与OA,AB,CO三条边相切,D的坐标为（2,2）；若与AB,BC,CO三条边相切,D的坐标为（2,0）.,拓展延伸,(1，1)，(3，1)(2，2)和(2，0),状元
47、成才路,课堂小结,直线与圆的位置关系,相离,相切,相交,大致图象,数量关系（d、r）,交点个数,0,1,2,dr,dr,d r,状元成才路,课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,状元成才路,24.2.2 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定与性质,R九年级上册,状元成才路,新课导入,情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的?情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的?,状元成才路,(1)能推导切线的判定定理和性质定理.(2)能初步运用切线的判定定理和性质定理解决简单的几何问题.,状元成才路,推进新课,回顾直线与圆相切：,直线与圆相切,切线
48、,.,切点,判断直线和圆相切有哪两种办法？,状元成才路,1. 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.,2. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.,1.切线和圆只有一个公共点.,2.圆心到切线的距离等于半径.,切线具有什么性质？,定义法：,数量法（d=r ）：,状元成才路,如图，在O中，经过半径OA的外端点A作直线 l OA ，则直线l与O的位置关系怎样？为什么？,条件一：直线l 经过半径OA的外端点A.,条件二：直线l 垂直于半径OA.,显然，圆心到直线的距离d =半径 r,相切,切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,思考,状元成才路, OAl l是O的切
49、线.,几何符号表达：,OA是半径，,于A,切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,状元成才路,判断:,1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ）2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）,利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.,状元成才路,已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？,l,.A,第一步：连接OA;第二步：过A点作OA的垂线l.,状元成才路,判断一条直线是圆的切线，你现在会哪几种方法?,有以下三种方法,切线的判定方法,1.定义法：
50、和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.2.数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,归纳,状元成才路,下雨天快速转动雨伞时飞出的水滴，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出,1. 当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴顺着伞的什么方向飞出去的？ 2. 砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的?,生活中的数学,状元成才路,改变切线判定定理的题设与结论： 如果直线l是O的切线，切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？,切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.,直线l切O于点，,OAl
