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1、非参数检验,6.1 符号检验 6.2 Wilcoxon符号秩检验6.3 WMW秩和检验6.4 Kruskal-Wallis检验,什么是非参数检验？,非参数检验是相对于参数检验而言的传统的统计推断（参数统计）一般都是在给定或假设总体的分布形式或分布族，或具有足够大的样本或已知的总体的某些参数的基础上对总体的未知参数进行估计或检验。然而在实践中，我们对所研究的总体可能知之不多，要给出或假设总体的分布十分困难，或者总体的分布并不满足假定的前提，或者不知道推断时需要的总体参数值，或者没有足够多的样本。此时，参数统计的方法不适用，必须应用非参数统计的方法。,非参数统计一般不涉及总体参数，也不依赖于对总体
2、分布作出假定，往往仅依据数据的顺序量或等级资料等即可进行统计推断，在实际中得到了极为广泛的应用。,即：和数据本身的总体分布无关的检验称为非参数检验。不假定总体的具体背景分布形式；多根据数据观测值的相对大小建立检验统计量，然后找到在零假设下这些统计量的分布，看这些统计量的数据实现是否在零假设下属于小概率事件。,非参数检验有什么优越性？,在总体分布未知时，如果还假定总体有诸如正态分布那样的已知分布，在进行统计推断就可能产生错误甚至灾难。非参数检验总是比传统检验安全（更不容易拒绝原假设）。但是在总体分布形式已知时，非参数检验不如传统方法效率高。,非参数检验的应用场合,如果需要对定性数据做假设检验，则
3、需要使用非参数方法如果需要对中位数做检验，则需要使用非参数的方法。如果需要对统计分布做检验，例如检验数据是否来自正态总体，检验两个总体的统计分布是否相同等，则需要用非参数方法。当参数检验需要的假设不成立时， 需要采用非参数检验方法。特别的，非正态总体、小样本的情况下，传统的t检验是不能使用的。,符号检验,符号检验法是一种最简单的非参数方法，它不要求知道被检验量的分布规律，仅依据某种特定的正负号之数目多少来对某种假定作出统计推断，所以称为符号检验。符号检验法非常直观、简便，常被用于检验总体的均值、中位数等位置参数是否为某一数值，或判断总体分布有无变化、是否相同等。尤其在实际中，我们常常会碰到无法
4、用数字去描述的问题，这时符号检验法就是一种简单而有效的检验方法。,基本思路,例6.1 今从生产线上随机抽取10件产品进行检验，测得产品的直径数据（单位；厘米）为：23，18，22，21，27，25，19，21，24，17。问：能否认为该产品的直径的中位数（ ）是23厘米？（ ）,分析：如果产品直径的中位数是23厘米，就意味着样本点 （本例n=10）中大于23的概率 与小于23的概率 应当相同。如果排除样本点等于23的情况（连续随机变量的样本点等于 的概率为零，故可以将等于 的样本点去掉，相应减少n）， 。可见，如果产品直径的中位数是23厘米的假设成立，则每一样本点都以0.5的概率小于 ，也以0
5、.5的概率大于 。,这显然是一系列贝努里实验，大于 的样本点个数（符号为正，记为 ）与小于 的样本点个数（符号为负。记为 ）均服从均值为1/2，方差为n/4的二项分布 。 和 可以用作检验统计量，为计算方便，一般取两者中较小的一个作检验量， 记作 。,检验步骤,1、提出假设。 如 2、作差数 。 3、求 。 ，记作 ； ，记作,4、作出决策查表判断根据一定的显著性水平 和符号数目n（ ） 查符号检验界域表求得临界界域，此表是利用二项分布计算出来的。如果 和 落在相应的界域以外（含落在界域点上）表明 和 的差异很显著。拒绝 ；否则不能拒绝 。,计算 值作出判断 式中双侧检验： ，拒绝 ； ，不能
6、拒绝单侧检验： ，拒绝 ； ，不能拒绝,注意：当n较大时，二项分布逼近正态分布， 近似服从标准正态分布，我们可以用Z检验量进行检验。不过，由于正态分布是连续分布，所以在对离散的二项分布的近似中，要用连续性修正量：当 时取加号，反之取减号。对于单边检验， 值为 ；而对于双边检验 值为,例1. 解： ：0，-5，-1，-2，4，2，-4，-2，1，-6,a.查表。根据 ，n=9查表得临界界域为（2，7）。 和 均落入界域内，故不能拒绝 ，可以认为该产品直径的中位数是23厘米。 b.计算 值。 。由于 值 ，所以不能拒绝 ，可以认为该产品直径的中位数是23厘米。,例6.2 联合国人员在世界上66个大
7、城市的生活花费指数（以纽约市1996年12月为100）按由小至大的次序排列如下。,对均值的t检验,问题：假定这是从世界许多大城市中随机抽样而得到的样本。 北京的指数为99，能否认为北京市在总体平均水平之上？分析：由于是大样本，所以不论总体是否正态，都可以根据单个样本的t检验进行分析，检验总体的均值是否小于99。如果能够认为总体的均值小于99，则可以知道北京市在总体水平之上。,SPSS对均值的t检验结果,左侧检验时p值等于0.257/2=0.1285，因此在5%的显著性水平下不能拒绝总体均值大于等于99的原假设。从而，没有证据表明北京市在总体平均水平之上。,然而,此组数据的直方图如下，可以判断总
8、体数据很可能为右偏分布。这时中位数比均值更有代表性。 下面我们来检验能否认为总体的中位数小于99。,左侧检验,用M表示总体中位数。 表示大于中位数的数据个数。在这个例子中，需要检验M是否小于99。在样本的数据中，如果原假设成立，则大于99的数据个数 应该比较大。因此，如果从总体中得到 的样本的概率非常小，则可以拒绝原假设。,检验统计量,如果M的确是总体的中位数，则每个样本点都以0.5的概率小于（或大于）M。这显然是一系列Bernoulli试验。大于M的样本点的个数 与小于M的个数 都服从二项分布 B（n,0.5），二者都可用作检验统计量。因此，假设x服从二项分布 B（66，0.5）在这个例子中
9、只需要计算如果p值小于a，则拒绝原假设。,根据二项分布的计算结果,在这个例子中大于99的数据个数为23。在Excel单元格中输入“=BINOMDIST(23,66,0.5,1)”，可知这一概率（p值）为0.00932863由于p值小于a，则拒绝原假设。结论：总体的中位数要小于99。在这种情况下，可以认为北京的生活指数（99）高于世界大城市的中位数,根据正态分布的计算结果,本例中样本量比较大，可以使用正态分布近似计算p值。二项分布 B（n,0.5）的期望为0.5n，方差为npq=0.25n。在这里z=-2.4618， P（z-2.4618）=0.0069因此在左侧检验中拒绝原假设。由于二项分布为
10、离散的，正态分布是连续的，因此二者计算结果有差异。软件中通过使用“连续性修正”的方法可以缩小这种差异，得到更接近的结果。,双侧检验时的p值,当零假设为真时， 不应该太大或太小。如果 太大或太小，则可以拒绝原假设。p值等于根据给定的显著性水平得出检验结论。,右侧检验时的p值,当零假设为真时， 不应该太大。如果 太大，则可以拒绝原假设。假设x服从二项分布 B（n,0.5），则p值等于根据给定的显著性水平得出检验结论。,符号检验在SPSS中的实现,以例6.2为例，检验世界花费指数的中位数是否小于99，因此提出假设如下：在SPSS17.0中，使用选项Analyze-Nonparametric Test
11、s- Binomial，再把变量“生活花费指数”选入Test Variable List。然后在下面Define Dichotomy的Cut Point输入“99”，在下面Test Proportion输入“0.50”，得到如下对话框。,例6.2的SPSS实现,例6.2的SPSS结果,例6.2的SPSS结果含义,在二项检验的结果中，小于等于99的观测值个数有43个，大于99的有23个，共66个；所观察的比例分别是0.65和0.35，检验的比例为0.5。双侧检验的p值为0.019。对于这里的左侧检验，检验的p值为0.019 /2=0.0095，小于显著性水平0.05，因此，拒绝零假设。,6.1.
12、3 应用,例6.3 为了解顾客对咖啡、茶的喜好情况，在某商场随机抽取15名顾客进行调查，结果有12名顾客更喜欢茶，2名顾客更喜欢咖啡，1名顾客对两者同样爱好。问： 顾客对咖啡、茶的喜好是否有差异？（ ） 能否认为顾客更喜欢茶？（ ）,6.1.3 应用,解：因为 ，数据不支持 ，即拒 绝 ，可以认为顾客对咖啡和茶的喜爱有显著差异。,6.1.3 应用,表明数据不支持 ，支持 ，可以认为顾客更喜欢茶。,6.1.4 成对数据比较的符号检验,成对数据可以采用t检验的方法，但需要有正态性的或者大样本的假设条件。如果对数据的正态性没有把握，则可以采用非参数的方法，例如符号检验。,在抽取样本时有两种形式：相关
13、的和独立的。若第一次抽样的所有样本某一属性的测量结果，不影响第二次抽样的所有样本同一属性的测量结果，则这种抽样是独立的，若第一次抽样的测量结果影响另一次抽样测量结果，则这种抽样是相关的。为了避免或者尽量减少由于其他因素影响引起的两组之间的附加差异，得到更准确地结论，研究中通常采用两个相关的样本。,相关样本的获取有两种方式：1.让每一研究对象做自身的对照者2.将研究对象两两配对，分别给每一对两个成员以不同的处理。在进行配对时，应让每一对在可能影响处理结果的其他因素方面尽量相似，以尽量避免和减少附加差异。一般来说，用研究对象自身作为对照者要优于配对方法，因为在配对过程中很难完全控制住其他的影响因素
14、。两个相关样本的非参数检验方法主要有符号检验法和Wilcoxon符号秩和检验法。,利用两个相关样本进行研究，对于某些问题是很方便的。但现实中要做到很好配对并不容易。若由于配对不当或无法配对，就要使用两个独立样本的非参数检验方法：Brown-Mood检验法，Mann-Whitney-Wilcoxon检验法，Wald-Wolfowitz游程检验法，卡方检验法，Kolmogorov-Smirnov检验法等。两个独立样本可以各自从两个总体中随机抽选获得，也可以对随机抽样的一个样本诸元素随机分别实施两种处理而形成。,成对数据符号检验的原理,双侧检验的原假设为：成对数据差值总体分布的中位数为0。若两个总体
15、的中位数相同，则样本中正差值与负差值的个数应接近各占一半。也可以做单侧检验。,例6.4,从实行适时管理（JIT）的企业中，随机抽取10家进行效益分析，它们在实施JIT前后三年的平均资产报酬率如下表所示。问在5的显著性水平下，企业在实施JIT前后的资产报酬率是否有显著差异？,t检验的结果,结论：没有显著变化。,数据分布正态性的分析,下图是差值序列的直方图，没有证据表明不是来自正态总体。由于数据个数不多，所以很难对总体的分布作出有把握的判断。可以用符号检验再进行一次检验。,在SPSS17.0中，直接使用选项Analyze-Nonparametric Tests-2 Related Samples，
16、再把变量“实施JIT前”和“实施JIT后”分别选入Test Pairs的Pair 1的Variable1和Variable2中。然后，在选项Test Type中选择Sign，得到如下图的对话框。,例6.4非参数方法的SPSS实现,例6.4的SPSS实现,例6.4的SPSS结果,例6.4的SPSS结果与分析,从上述结果看出，如果给定显著性水平为5%，由于检验统计量的p值=1.000大于显著性水平，因此不能拒绝原假设，即没有证据表明企业在实施JIT前后的资产报酬率的分布有显著差异。,6.1.5 练习,1、某企业拟采取一项新的人事分配制度改革。为了解广大职工对这项改革措施的看法，有关人士逐一征求了经
17、过挑选的25名具备权威性、代表性的职工的意见。结果19人表示赞同，5人表示反对，1人表示没有把握。试问这些回答能否表明职工中赞成这项改革方案的人比反对的人多？（ ）,6.1.5 练习,2、某企业随机抽取了15个商场对其加湿器产品的销售量情况进行了调查，以了解广告对商品的促销是否起了作用。每日销售量（台）的调查数据见下表：,6.2 Wilcoxon符号秩和检验,它是对符号检验法的一种改进方法。符号检验法只利用了样本的差异方面上的信息（如利用了观察值和零假设的中心位置之差的符号），并考虑差别的大小。不同的符号代表了在中心位置的哪一边，而差的绝对值的秩的大小代表了距离中心的远近。Wilcoxon符号
18、秩和检验把两者结合起来了，因而比符号检验法更有效，使检验的结果更加精确。,秩（rank）,非参数检验中秩是最常使用的概念。什么是一个数据的秩呢？一般来说，秩就是该数据按照升序排列之后，每个观测值的位置。下面一行Ri就是上面一行数据Xi的秩。,秩（rank）的计算,数据中有相同的数值，称为结。结中数字的秩为它们按升幂排列后位置的平均值,6.2.1 基本方法与检验步骤,这种方法与符号检验法类似，也是建立在二项分布理论基础上的检验方法，但它需要假定样本点来自连续对称总体分布，将差的绝对值的秩分别按照不同的符号相加作为检验统计量。,6.2.1 基本方法与检验步骤,1、建立假设，如 ：2、对i=1,2,
19、n ，计算 ，它们代表这些样本点到 的距离。3、把上面的n个绝对值排序，并找出它们的n个秩。如果有相同的样本点，每个点取平均秩。4、令 等于 的 的秩的和， 等于 的 的秩的和。,6.2.1 基本方法与检验步骤,5、对于双边检验， ； 在零假设下， 和 应当差不多。因而，当其中之一很小时，应怀疑零假设，检验统计量 。类似地，对 ； 的单边检验， 取 ；对 ； 的单边检验取,6.2.1 基本方法与检验步骤,6、根据得到的值，查Wilcoxon符号秩检验的分布表以得到在零假设下的 值。如果n很大要用正态近似，得到一个与W有关的正态随机变量Z值，再查正态分布表得到 值，或用计算机得到 值。7、如果
20、值小于给定的显著性水平，拒绝零假设；反之不能拒绝零假设。,计算样本中成对数据的差值。计算差值绝对值的秩。分别计算出差值序列中正数的秩和 以及负数的秩和 。如果两个秩和比较接近，则说明之前和之后没有显著差异。,6.2.1 基本方法与检验步骤（总结）,检验统计量,双侧检验：检验的原假设：成对数据差值总体的分布是关于0值对称的。也可以进行单侧检验。,检验的临界值和p值,当样本量较小时，可以通过查Wilcoxon符号秩检验的临界值表得出结论。有的书中有W统计量的分布表，可以查出零假设下的p值。,检验的临界值和p值,当n很大无法查表时，还可利用正态近似检验统计量的p值。,Wilcoxon符号秩检验的实现
21、,对于例6.4的问题，在SPSS17.0中，直接使用选项Analyze-Nonparametric Tests-2 Related Samples，再把变量“JIT前”和“JIT后”分别选入Test Pairs的Pair 1的Variable1和Variable2中。然后，在选项Test Type选择Wilcoxon，得到如下图的对话框。,例6.2的SPSS实现,例6.4的SPSS结果,例6.4的SPSS结果与分析,从结果可以看出，双尾检验的p值为0.505，表明前后差异不大，与普通符号检验结果一致。这里的p值小于符号检验的p值，说明这种方法更精确。,6.2.2 练习,1、某钢铁公司订购了一批
22、铸件，在使用前需要进行机加工。为减少加工费用，公司规定下列原则：若铸件重量的中位数超过25公斤，就转包给别人加工；反之就自己加工。今从这批（100件）铸件中随机抽取了8件进行测量，每件重量为： 24.3，25.8，25.4，24.8，25.2，25.1，25.0，25.5。问铸件的机加工是否应该转包出去？ （ ）,6.3 Mann-Whitney-Wilcoxon检验,在两个独立样本的t检验中，需要假设两个总体都服从正态分布。当这一假设条件不满足时，特别是小样本时，需要使用非参数的方法。Mann-Whitney-Wilcoxon检验译作曼惠特尼维尔科克森检验，简称u检验，它是一种建立在二项分布
23、理论基础上的总体分布位置差异检验法。这种方法不考虑总体分布的具体形式，只需假定两个独立的相比较的总体有相同的连续分布。Mann-Whitney u检验的精确度较高，在正态总体情况下使用可以达到参数检验方法t检验法效率的95%的精度；如果是偏态总体，它的精度还要高于t检验法。,6.3.1 基本方法与检验步骤,设分别从具有F (x)与F (y)连续分布形式的两个独立总体中抽取容量为m, n（mn）的顺序样本 和 考虑两个总体的分布是否一致，可以建立假设：如果要考虑总体位置上是否有差异，可以建立假设：,6.3.1 基本方法与检验步骤,将两个样本混合在一起，并按从小到大的顺序排列起来，得到混合顺序样本
24、：如果 为真，则 与 应较均匀地分布在混合顺序样本中，这 N个观察值能够被看作是来自共同总体的一个单一的随机样本。在混合样本中，各数值所占位置的名次称为它的秩。令 和 分别为 和 在混合样本中的秩， 和 分别为 和 的总和（秩和）：,6.3.1 基本方法与检验步骤,显然，如果x的秩大部分都小于y的秩（ 很小），则表明x样本的值偏小，我们就有理由怀疑混合子样是一个随机的混合样本， 不能成立。同理，如果 很小， 也不能成立。可见， 和 都可以用作检验统计量，一般取两者中较小的一个作为检验统计量，记作 ，W被称为Wilcoxon秩和统计量（Wilconxon Rank-Sum Statistics）
25、,该统计量是由Wilconxon于1945年提出的。,6.3.1 基本方法与检验步骤,Mann-Whitney与1947年提出了u检验量，我们也可以用u来检验零假设。这里定义 为所有x观察值在混合样本中超过y观察值的个数， 为所有y观察值在混合样本中大于x观察值的个数，u为 和 中较小者，即 。若 成立， 与 的差别不会很大，u不会太小。如果u很小，我们就有理由怀疑 。实际上，检验统计量w和u是等价的，二者之间只是一个线性变换关系，一般将其统称为Mann-Whitney-Wilconxon统计量。,1. 为离散分布。其中 的最大值为n(n+1)/2+mn，最小值为n(n+1)/2。2. 都是中
26、心对称的。其中， 的中心为n(N+1)/2。,统计量的性质,m=n=2情形下统计量的可能取值,6.3.1 基本方法与检验步骤,6.3.1 基本方法与检验步骤,正态逼近,打 结,6.3.2 应用,例6.5 两种材料制成同一零件，随机抽取19件作疲劳强度测试，得到如下结果： A材料：82 64 53 61 59 83 76 55 70 73 B材料：80 60 65 91 86 84 77 93 75 试问两种材料制造的零件，其疲劳强度有无显著差异（=5%）,6.3.2 应用,（2）计算检验统计量,6.3.2 应用,6.3.3 练习,今测得甲、乙两矿灰分含量（%）资料如下： 甲：3.75 4.3
27、3.95 3.8 3.85 乙：3.9 4.05 4.1 4.0 试用Mann-Whitney-Wilcoxon检验法判定甲乙两矿的灰分有无显著差异（=0.05）,一个例子,例6.6 我国沿海和非沿海省市区的人均生产总值（GDP）某年抽样数据如下（单位为元）。沿海省市区为：15044 12270 5345 7730 22275 8447 9455 8136 6834 9513 4081 5500而非沿海省市区的为：5163 4220 4259 6468 3881 37154032 5122 4130 3763 2093 37152732 3313 2901 3748 3731 5167,t检验
28、的结果,根据SPSS的结果可知，两个总体方差不相等；检验认为两个总体的均值不相等（p值等于0.003）。,两个样本的直方图,第一个总体的统计分布很难说是正态分布。因此t检验的结果不可靠，尝试WMW秩和检验。,例6.6的SPSS实现,84,例6.6的SPSS结果,由上述结果可知，沿海组的秩和为285，非沿海组的秩和为180。,例6.6的SPSS结果与分析,从结果可以看出，Wilcoxon统计量 W=180.000，p值=0.000小于显著性水平0.05，故可认为沿海组和非沿海组的人均GDP的分布（或中位数）并不一样。,6.4 Kruskal-Wallis检验,在比较多个总体均值的方差分析中需要相
29、应的假设条件。如果违背了相应的假设条件，可以使用非参数的方法。 在比较两个以上的总体时广泛使用非参数方法是Kruskal-Wallis检验。,6.4 Kruskal-Wallis检验,Kruskal-Wallis检验译为克拉夏尔-瓦里斯检验，简称克氏检验。它是1952年由Kruskal和Wallis两人提出的，是两个独立样本Mann-Whitney-Wilcoxon检验的一种推广。Refernces: Kruskal,W.H. and Wallis,W.A. (1952). Use of ranks in one-criterion variance analysis. J.Amer. Sta
30、tist. Assoc.,47,583-621.,6.4.1 基本思路与检验步骤,今要研究k个总体的分布是否相同，需要的数据是k个独立的随机样本,其大小为 样本独立地分别从各自的总体中抽取，总体分别具有连续的累积概率分布 。数据的测量层次至少在定序尺度上。,为检验零假设，我们需要构造一个检验统计量。方法是将所有数据按从小到大的顺序合并成一个单一的样本，其大小 。将每一个观察值给出一个等级即评秩，秩为整数，从1到N。对于N个观察值来说，平均等级是,对于含有 个观察值的第j个样本来说，等级总和的期望值是 ，若以Rj表示第j个样本的实际等级总和，则 就表示k个样本中第j个样本等级总和与其均值的偏差。
31、如果各组无显著性差异，在各组样本容量相等的情况下，各组秩和应该相等或趋于相等。即如果H0为真，所有样本数据混合排列成一个单一的随机样本，等级即秩次应该在k个样本之间均匀地分布，各组中Rj的平均值差别不大，即各样本实际的等级总和即秩次和Rj与期望等级总和 之间的偏差应很小。如果各组秩和相差较大，则各组有显著性差异的可能性较大。,Kruskal-Wallis检验定义的统计量就是建立在实际等级总和Rj与期望等级总和 的偏差的基础之上的。它定义为H，计算公式为：类似方差分析组间平方和SSA的构成，只是将相应的字母x换成字母R。,检验步骤： (1)建立假设（检验多个总体是否有相同的统计分布） 如果偏重于
32、考察位置参数，则所建立的假设是：注意：备择假设对于k2时不存在单侧备择的配对，因为对于 来说，有k!=k*(k-1)*3*2*1种不同的有序排列，不便于进行检验。,（2）计算检验统计量H （3）作出决策。 当 数据支持H0，不能拒绝H0； 当 数据不支持H0，拒绝H0。,6.4.2 应用,例6.7 为检验4种训练方式的有效性是否存在显著差异，将报名的30名运动员随机地分为4组（运动员的条件基本相同），分别接受不同的培训。训练一段时间后，按规定的要求进行测试，测试成绩如下表所示：,试问4种训练方式的有效性是否存在显著差异（a=0.05）?,解：（1）建立假设 （2）计算检验统计量 （3）作出决策
33、 ，数据在5%的显著性水平上不能拒绝H0，表明4种训练方式的有效性没有什么显著差异。,注意： (1)大样本时可以用F分布来近似，公式略。 (2)同分时，用H除以一个校正系数，用得到的商作为检验量。,例6.8 从我国上市公司中分别随机抽取了工业、商业、建筑业、交通运输业等四个行业，其在某年的总资产报酬率如下表。问四个行业总资产报酬率是否有显著性差异？,单因素方差分析的结果,结论：拒绝各组均值相等的原假设。,但是,从标准差看最大值和最小值的比值超过了2，因此不能认为各组方差相等。因此方差分析不适用。,在SPSS17.0中，定义分组变量为行业(工业为1，商业为2，建筑业为3，交通运输为4)后，直接使
34、用选项Analyze-Nonparametric Tests-K Independent Samples。然后把变量“总资产报酬率”选入Test Variable List；再把数据中用变量“行业“输入Grouping Variable，在Define Range中的选项Minimum和Maximum分别输入“1”和“4”。然后在下面选项Test Type选择Kruckal-Wallis H，得到如下图的对话框。,Kruskal-Wallis检验,例6.8的SPSS实现,例6.8的SPSS结果,由上述结果可知，四个行业总资产报酬率的平均秩分别为16.85、12.75、33.05、19.35 。
35、,例6.8的SPSS结果与分析,从结果可以看出，Kruskal-Wallis检验的p值为0.001，小于给定的显著性水平，所以有理由拒绝原假设，即认为这四个行业的总资产报酬率有不同的统计分布。,6.4.3 练习,在一项健康试验中，有3种生活方式，它们的减肥效果如下表：,试问在5%的显著性水平下，能否从这些调查数据中得出三种生活方式的减肥效果相同？,小 结 （1）,符号检验是利用某假设下正号和负号的数目做出判定的非参数方法。符号检验方法可以通过成对数据差值的符号进行检验，从而比较两个总体差异的显著性。Wilcoxon符号秩检验是把成对数据样本中每对数据差值的绝对值赋予秩次并记上符号，然后依据正秩和与负秩和做出判定的。,小 结（2）,Wlicoxon（Mann-Whitney）秩和检验可以把两个样本混合排列，然后通过比较两个样本的秩和做出判定。Kruckal-Wallis检验是将多个样本的数据合在一起按照从小到大的顺序排出秩次，然后基于秩次构造统计量进行判定的非参数检验方法。,
