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1、高等数学上 复习,题目类型：选择，填空，计算， 证明，综合考试注意事项：签名，时间控制，先易后难，答题规范。,考试形式：闭卷考试时间：2小时,一、极限计算,主要方法：两个重要极限，无穷小替换， 罗必塔法则，其他方法（有理化、定积分定义等），特别注意各种方法的结合。如无穷小+罗必塔，罗必塔+积分上限函数等。,或,注意与,区别,例1,例2. 求,解: 令,则,因此,原式,例3,注意“凑”的技巧，想法凑成公式需要的形式。,例4 计算,解：,例5： 求下列极限：,提示:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用等价无穷小:,例1. 求,解:,原式,例2. 求,解:,例 计算,解：,分子或分母有理化
2、,存在 (或为 ),罗必塔法则,例1. 求,解:,原式,注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !,解: 原式,例2. 求,例3. 求,解:,例4. 求,解:,注意到,原式,分析:,例5.,原式,例6. 求,解:,原式,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,(1),(2),二、连续性（分段函数情形）,例1,在x=0处连续,则A=( ),解：计算函数值f(0)A,计极限值,所以A=3,例1. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,例2,a=( 0 ), b=2,解：计算函数值,
3、计极限值,此时，要考察左右极限，,右极限,左极限,由连续的定义，可得 a=( 0 ), b=2,三、导数与微分,计算、应用、证明导数定义（分段点可导性讨论，计算）复合函数求导，隐函数求导，参数方程确定函数求导导数几何意义（切线法线计算） 单调区间，凹凸区间，求最大最小值 证明,解: 因为,例1. 设,存在, 且,求,所以,设,解:,又,例2.,处的连续性及可导性.,例3,解：,两边对x求导得：,算出,，斜率,所以切线方程为,例4. 求,的导数 .,解: 两边取对数 , 化为隐式,两边对 x 求导,解,注意 y = y (x),解得,上式两边在对 x 求导，得,注意：,例6,解,例7.设由方程,
4、确定函数,求,解:方程组两边对 t 求导,得,故,例8.设,其中,可微 ,解:,例9 求曲线 的拐点及凹凸区间。,解:,令,得：,凹凸区间为,例10. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,例11. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,又,(2) 旋转体体积
5、,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,四、不定积分与定积分,计算：直接积分法、第一换元法、第二换元法（三角代换，倒代换，最小公倍代换）、分部积分法积分上限函数求导（复合函数情形）应用：面积（不同坐标系）、旋转体体积、弧长对称性应用：奇函数、偶函数无穷限广义积分,例1. 求,解: 原式 =,例2. 求,解:,例3,解：,例4,解：,例5. 求,解:,令,则,想到公式,例6. 求,解:,类似,例7. 求,解:, 原式 =,例8. 求,解: 令,则, 原式,例9. 求,解: 令,则, 原式,例10. 求,解:,令,则, 原式,令,于是,例11. 求,解: 令,则,原式,例12. 求,解:
6、令,得,原式,思考与练习,1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?,令,令,令,例13,例14 求积分,解,注意循环形式,例15 求积分,第二换元法+分部积分法,解,例16：求,解：,例17 计算广义积分,解,解：,五、微分方程,一阶：变量可分，线性非齐次（常数变易法）二阶：常系数非齐次通解,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,:,这,里,.,解,由通解公式得,非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为,即,.,例2.,的通解.,解: 本
7、题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,解,例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解,因为f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为,齐次方程yy0的特征方程为r210,把它代入所给方程 得,y*(axb)cos2x(cxd)sin2x,(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2xxcos2x,六、不等式证明,单调性证明：一阶导数不好判断正负情形，继续求导利用定积分证明不等式中值定理应用,例1. 证明,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此,且,证,* 证明,令,则,从而,即,例2. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,使,上连续, 在,证: 问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0 , 1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,例3. 证明,证: 令,则,令,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,
