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1、第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数三、小结,定义：设 y = f (x) 在点,的某个邻域内有定义，,当自变量 x 在,处取得增量 x,相应的函数也取得增量,如果比值的极限,存在,则称 y = f (x) 在 处可导，,并称该极限为 y = f (x),在点 处的导数，记为 即,一元函数导数概念的回顾,考虑二元函数 z = f ( x , y ),若将 y 固定（看作常量），则它成为一个关于 x 的一元函数，可将其对 x 求导。,同理，可定义 z = f ( x , y ) 关于 y 的偏导数。,所以，z = f ( x , y ) 关于 x , y 的偏导数，实际上就是
2、两个一元函数的导数（将其中一个变量固定，函数则成为另一个变量的一元函数）,这个关于 x 的一元函数对 x 的导数，称为二元函数 z = f (x , y ) 关于 x 的偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,上述关于二元函数偏导数的定义，可推广到 n 元函数的情形。,例如：u = f ( x , y , z ),求二元函数偏导数的方法？,解:,先求偏导函数，再将点 ( 1 , 2 ) 代入。,证,原结论成立,解,解,不存在,解,分析下列解法是否正确？,解,例 5,解,由第一节可知 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处不连续,由对称性得,例 5,解,按定义可知：,例 5,解,有关偏
3、导数的几点说明：,、,3、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,2、对于多元函数，在某点处，即使各偏导数都存在，也不能保证函数在该点连续。,解,3、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,二、高阶偏导数,在区域 D 内，它们仍是 x , y 的二元函数，可继续求偏导数。,类似地，可以定义三阶或更高阶的偏导数。,二阶混合偏导数,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,解,解,问题：,混合偏导数一定相等吗？,例 8,解,例 8,解,按定义可知：,例 8,解,例 8,解,例 8,解,问题：,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,证明：,由函数关于自变量的对称性，有,例9：证明函数,满足拉普拉斯方程,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,三、小结,作 业,习题 9 - 2,1(5, 8), 2, 5(2, 3), 8,解,解,证毕,由对称性得,思考题,思考题解答,不能.,例如,
