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1、一元函数的积分,一、不定积分二、定积分三、广义积分,一、不定积分,1. 不定积分的概念和性质,定义1 设函数f 与F 在区间I上有定义，若则称F为f 在区间I上的一个原函数,问题： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？,( 2 )如果f (x)有原函数，一共有多少个？,( 3 )任意两个原函数之间有什么关系？,1)原函数与不定积分的概念,被积表达式,定理1（原函数存在定理） 如果函数f（x）在某个区间上连续，那么f（x）在该区间上一定存在原函数. 简单理解：连续函数一定有原函数,定理2 如果函数F（x）是函数f（x）的一个原函数，则F（x）+C（C为任意数）是f（x）的全部原函数.,性质1
2、 设函数 及 的原函数存在，则,性质2 设函数 的原函数存在， 为非零常数，则,性质3,性质4,3)不定积分的性质,2. 不定积分直接积分法,不定积分的基本公式,利用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数进行恒等变形,直接积分法,3. 不定积分的换元积分法,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,1)第一类换元积分法（凑微分法）,（凑微分）,2)第二类换元积分法（变量代换法）,例1 求,解,令,例2 求,解,令,说明,以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,常用
3、的基本公式表,4. 不定积分的分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,例2 求积分,解,注意循环形式,2)化有理真分式为简单分式,3)有理函数的积分法,二、定积分,1.定积分的概念和性质,曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.,1）定积分问题举例,在小区间xi1, xi上任取一点xi (i1, 2, n),作和,maxDx1, Dx2,Dxn;,记Dxi=xi-xi1 (i1, 2, n),ax0 x1x2 xn1xnb;,在区间a, b内任取分点:,设函数
4、f(x)在区间a, b上连续.,若当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和xi的取法无关, 则此极限称为函数f(x)在区间a, b上,的定积分, 记为,即,2）定积分的概念,函数的可积性 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在, 则称f(x)在区间a, b上可积.,定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积.,定积分的定义,3)一般地, f(x)在a, b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分
5、面积的代数和.,1）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0 所围成的封闭图形的面积.,2）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示曲边梯形面积的负值.,3）定积分的几何意义,性质1,性质2,性质3,性质4,性质5,如果在区间a b上 f (x)0 则,(,a,b,),.,1）定积分性质,推论,如果在区间a b上 f (x)g(x) 则,性质6,设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,2. 牛顿-莱布尼茨公式,
6、1）变上限积分函数,此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分.,定理2 若函数 在 上连续，则积分上限函数 是 在区间 上的一个原函数.,3. 定积分的积分方法,1）定积分的换元积分法,2）定积分的分部积分法,三、广义积分,1. 无限区间上的广义积分,此时也称广义积分 存在或收敛；如果极限不存在，就称广义积分 不存在或发散。,类似的，可以定义 在区间 及 上的广义积分。,注 广义积分 收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。,2. 无界函数的广义积分,设函数 在区间 上连续，而 取 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在区间 上的广义积分。记作 即,此时也称广义积分 存在或收敛；如果极限不存在，就称广义积分 不存在或发散。,类似的，可以定义 在区间 及 上的广义积分。,一。几何应用;,1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）,2体积：,1）已知横截面面积的体积,2）旋转体的体积,二物理应用,1.压力；,3.引力。,2.变力做功；,功,
