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1、第二节 龙格-库塔法,什么叫平均斜率？,对差商 应用微分中值定理，有，,利用微分方程 ，有,这里的 称为平均斜率。,可将改进的欧拉格式改写成,的算术平均值作为平均斜率。,该公式可以看作是用 和 两个点处的斜率 和,由改进型欧拉公式我们可以猜想，如果在,内多预测几个点的斜率，再对他们进行加权平均，,可能得到精度更好的平均斜率！,下面以2阶龙格-库塔方法为例来阐述这种思想,考察区间 上的一点 ，,用 和 的斜率 和 的加权平均作为平均,斜率 的近似值：,即取,其中 和 是待定常数。若取 ，则,问题在于如何确定 处的斜率 和常数 和 。,仿照改进的欧拉方法，用欧拉方法预测 的值，,并用它来估计斜率
2、：,于是得到如下形式的算法：,通过适当选取参数 和 的值，使得公式具有,2阶精度！,由泰勒公式展开，要使公式具有 2 阶精度，只需,方程组有无穷多解：二级方法有无穷多种,常见的3种二级方法：, 中点法（修正的Euler法）,取, 二阶龙格库塔方法,取,三级方法：N = 3,类似于N = 2的推导方法，可得到,常见的2种三阶方法：, 库塔三阶方法, 四级方法：N = 4,局部截断误差,常见的2种四阶方法：,经典龙格-库塔方法,解：,经典的四阶龙格-库塔公式：,同保留5位的精确值完全一致：,二、高阶和隐式Runge-Kutta方法,注：对于显式N级R-K方法，最多只能得到N级方法；,已经证明N级R
3、-K方法的阶 具有下列关系：,若要得到N阶以上方法，则使用N级隐式R-K方法,N级隐式R-K方法的一般形式：,(1)一级二阶的隐式中点方法：,(2)二级四阶的隐式R-K方法：,三、变步长方法,基本思想：根据精度自动地选择步长,对于经典Runge-Kutta方法：,Step1:设从 出发，以 为步长，经过一步计算得到,Step2:取 为步长，再从 出发，经过两步计算得到,一、收敛性 /*Convergence*/,3 单步法的收敛性、相容性和绝对稳定性,类似地可以定义隐式单步法、多步法（4）的收敛性,证明：,记,由截断误差的定义,因为单步法是 阶的：,满足,其中,二、相容性 /*Consiste
4、ncy*/,对于 阶方法：,设方法（*）与初值问题（*）相容，且 满足L-条件，,则该方法（*）是收敛的，即当 固定， 时,再由相容性得：,本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容的,三、绝对稳定性 /*Absolute Stibility*/,计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响,首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播:,例如：,对于初值问题,精确解为,而实际求解的初值问题为,精确解为,在 处的误差为,如果初值问题为,精确解为,实际求解的初值问题为,精确解为,在 处的误差为,若单步法是 阶的，则,由实验方程可得：,例3：分别求Euler法和经典的R-K法的绝对稳定区间。,解：, Euler公式：,将其应用于实验方程,绝对稳定域：,当 时，,绝对稳定区间：,经典的R-K公式：,当 时，,可以证明： 存在唯一极小值点,由 得,例4：求梯形公式（隐式方法）的绝对稳定区间。,解：,梯形公式：,将其应用于实验方程,当 时，,绝对稳定区间：,
