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1、等差数列前n项和公式,数学课堂,复习回顾,问题呈现,例题讲解,小结与作业,复习回顾,(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列an中,如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么: an+am=ap+aq,返回,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三
2、角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。 通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。 有无简单的方法？,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。,下一页,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层
3、一共有多少颗宝石？,获得算法：,下一页,问题2,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？,问题就是 求“1+2+3+4+100=？”,下一页,问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）,这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前100项的和。,100个101,高斯,下一页,问题3:,求:1+2+3+4+n=?,记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+n,S= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1,下一页,设等差数列a1,a2
4、,a3,它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即 Sn=n(a1+an)/2,下面将对等差数列的前n项和公式进行推导,下一页,即前n项的和与首项末项及项数有关,若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？,因为 an= a1+（n-1）d所以 Sn=na1+n (n-1)d/2,下一页,下一页,由此得到等差数列的an前n项和的公式,即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半
5、。,上面的公式又可以写成,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。,正所谓：知三求二,下一页,【说明】,推导等差数列的前n项和公式的方法叫 ；,an为等差数列 ，这是一个关于 的 没有 的“ ”,倒序相加法,Sn=an2+bn,n,常数项,二次函数,（ 注意 a 还可以是 0）,等差数列前n项和公式补充知识,下一页,【公式记忆】,用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.,等差数列的前n项和公式类同于 ；,梯形的面积公式,n,返回,例1 某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： , 8000 , 8500 , 9000 , 9
6、500 , 10000 ,10500这位运动员7天共跑了多少米？,解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列， 记为an, 其中 a1=7500, a7=10500.,根据等差数列前n项和公式，得,答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.,下一页,例2 等差数列-10，-6，-2， 2，前多少项的和是54？,本题实质是反用公式，解一个关于n 的一元二次函数，注意得到的项数n 必须是正整数.,下一页,解：将题中的等差数列记为an，sn代表该数列 的前n项和，则有a1=10, d=6(10)=4,根据等差数列前n项和公式：,解得n1=9, n=3(舍去),因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是
7、54.,设该数列前n 项和为54,下一页,例3 求集合M=m|m=7n, n是正整数, 且m100的元素个数, 并求这些元素的和.,解:,由7n100得 n1007,由于满足它的正整数n共有14个, 集合M中的元素共有14个. 即,7, 14, 21, , 91, 98.,这是一个等差数列, 各项的和是,答: 集合M中的元素共有14个, 它们的和为735.,=735,返回,1.推导等差数列前 n项和公式的方法,小结：,2.公式的应用中的数学思想.,-倒序相加法,-方程思想,3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个,-知三求二,下一页,作业:,课本P118:习题3.3 第七题第九题,下一页,返回,
