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1、等比数列的前n项和,国际象棋的棋盘上共有8行8列,构成64个格子.国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说.,引入:,国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上,4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍,直到第64个格子,请,你认为国王有能力满足发明者上述要求吗?,给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求.,让我们来分析一下:,由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个
2、格子,各个格子里的麦粒数依次是,于是发明者要求的麦粒总数就是,一、复习,1. 等比数列的定义：,2等比数列的通项公式：,数列的前项和与通项之间的关系：,二、等比数列前n项和公式的推导,(一) 用等比定理推导,当 q = 1 时 Sn = n a1,因为,所以,或,Sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an,= a1 + a1q + a1q2 +.+ a1qn-2 + a1qn-1,= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 ),= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn an ),(三) 从 (二) 继续发散开有,Sn =
3、a1 + a1q + a1q2 +a1qn-2 + a1qn-1 (*),q Sn = a1q + a1q2 + a1q3 + + a1qn ( * ),两式相减有 ( 1 q )Sn = a1 a1 q n,三、小结,上述几种求和的推导方式中 第一种依赖的是定义特征及等比性质 进行推导, 第二种则是借助的和式的代数特征进 行恒等变形而得,而第三种方法我们称之为错位相减法. 由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二 .,四、例题选讲 :,例1 . 求等比数列1/2 ,1/4 ,1/8 ,的前n项和,分析 : 拆项后构成两个等比数列的和的问题, 这样问题就变得容易解决了 .,例2.
4、 求和,例1：,解：,由a1= 1/2 ，,n=8,得,q=1/41/2=1/2,例2：,例3：某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？,解：根据题意，每年的产量比上一年增加的百分率相同，所以从第年起，每年的产量组成一个等比数列an。,其中：a1=5，,q=1+10%=1.1，,Sn=30；,1.1n=1.6,于是得到：,整理得：,nlg1.1=lg1.6,答：约5年内可以使总产量达到30万吨。,两边取对数：,例4： 已知Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列。,分析：由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，要证a2，a8，a5成等差数列，只要证：a2+a5=2a8,证明：由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9,这里q1。事实上，如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=a1，由a10，得S3+S62S9，与题设矛盾，所以q1,由S3+S6=2S9，得,整理，得 q3+q6=2q9,本节结束，谢谢！,
