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1、2.3 等差数列的 前n项和,高斯（Gauss,17771855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.,有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？,创设情景,问题就是：,计算1 2 3 99 100,高斯的算法,计算： 1 2 3 99 100,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三
2、个数一组， 每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.,首尾配对相加法,中间的一组数是什么呢？,若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？,创设情景,问题就是：,1 2 3 (n-1) n,若用首尾配对相加法，需要分类讨论.,三角形,平行四边形,n (n-1) (n-2) 2 1,倒序相加法,那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？,前n项和,分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.,问题分析,已知等差数列 an
3、的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .,如何才能将等式的右边化简？,由此得到等差数列的an前n项和的公式,即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。,上面的公式又可以写成,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。,知三求二,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,an,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,(n-1)d,a1,an,将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.,公式应用,根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，
4、d=2，n=50,练一练,500,2550,已知等差数列an(2)a14，S8172，求a8和d.思路探索 根据等差数列前n项和公式解方程,题型一与等差数列前n项和有关的基本量的计算,【例1】,a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用,在等差数列an中；(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17.,【变式1】,解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列an，,【例2】2000年11
5、月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？,故，该市在未来10年内的总投入为,答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.,且a1=500,d=50,n=10.,题型二 利用等差数列求和公式解决实际问题,【变式2 】 一个屋顶的某一斜面成等腰
6、梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？,解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列an，且a1=21，d=1，n=19.,答：屋顶斜面共铺瓦片570块.,于是，屋顶斜面共铺瓦片：,题型三利用Sn求an,已知数列an的前n项和Sn32n，求an.解(1)当n1时，a1S1325.(2)当n2时，Sn132n1，又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.又当n1时，a121115，,【例3】,(1)已知Sn求an，其方法是anSnSn1(n2)，这里常常因为忽略条件“n2”而出错,已知数列an的前n项和Sn2n23n，求an.解a1S15，
7、当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，当n1时也适合，an4n1.,【变式3】,【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,解：由于S10310，S201220，将它们代入公式,可得,所以,题型四 已知等差数列的某些项的和求出n项和,【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,另解：,两式相减得,一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和思路探索 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或
8、利用等差数列前n项和的性质求解,【变式4】,故此数列的前110项之和为110.法二数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100为等差数列，设公差为d，则又S10100，代入上式得d22，S110S100S10(111)d10010(22)120，S110120S100110.法三设等差数列an的前n项和Snan2bn.S10100，S10010，,解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的“片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解决,课堂小结,1等差数列前n项和的公式； 3.公式的应用(知三求二）4. 用,上页,下页,（两个）,2等差数列前n项和公式的推导方法倒序相加法；,由sn求an时注意对n进行讨论,
