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1、2.3.1等差数列的前n项和,泰姬陵坐落于印度距首都新德里200多公里外的北方邦的阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷，陵寝以宝石镶嵌，图案细致,绚丽夺目、美丽无比，令人叫绝.成为世界八大奇迹之一.,问题呈现,传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,问题1：,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？,问题就是 求“1+2+3+4+100
2、=？”,德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：123100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？,高斯（Gauss,17771855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.,问题2:,求和:1+2+3+4+n=?,记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+n,S= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1,上述求解过程带给我们什么启示？,(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。,问题3：设等差数列 an 的首项为a1，公差为d，如何求
3、等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+an?,解：,因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,两式左右分别相加，得,倒序相加,S=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+an,S=an+an-1+an-2+a3 + a2 +a1,2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an),变式：能否用a1,n,d表示Sn？,an=a1+(n-1)d,问题4：,求和公式,等差数列的前n项和的公式：,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,an,例1:根据
4、下列条件，求相应的等差数列 的,例2、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？,分析：找关键句；,求什么，如何求；,解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列an，且a1=500,d=50,n=10.,故，该市在未来10年内的总投入为：,答,例
5、4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,解：由于S10310，S201220，将它们代入公式,可得,所以,例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,另解：,两式相减得,小结,1等差数列前n项和的公式； 2等差数列前n项和公式的推导方法倒序相加法； 3.公式的应用(知三求一)。,（两个）,2.3.2等差数列的前n项和,2、等差数列an的前n项和公式,复习,1、等差数列an的基本性质：,(1) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=,(3)如果数列an的通项公式是
6、an=An+B(A、B是与n无关的常数），那么数列an一定是等差数列。,练习1、计算（1） 5+6+7+79+80（2） 1+3+5+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n,-n,n2,3230,提示：n=76,法二：,练习2.已知等差数列an的前n项和为Sn， 若a4+a5=18，则S8等于（ ） A.18 B.36 C.54 D.72,D,新课：例1,例2,运用等差中项的性质处理求和问题,例3 等差数列an中，已知a11=8,则s21= .,168,练1 等差数列an中，已知s15=90,则a8= .,6,例4、等差数列中前15项的和为-67，前45项的和为405，则
7、前30项的和为 。,解：由 S15， S30 S15， S45 S30 构成等差数列得 2（ S30 S15 ）= S15 + （ S45 S30 ）故S30 = （3 S15 + S45 ）/3=68,运用等差数列的性质处理求和问题,例3 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.,解：,所以集合M中的元素共有14个.,将它们从小到大列出，得,即 7，14，21，28，98,这个数列是成等差数列，记为,答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.,补充：两个等差数列2，6，10，190和2，8，14，200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.,解法：通项公式分别是an=2+(n1)4 bn=2+(n1)6,观察： 2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，50， 2，8，14，20，26，32，38，77，50，39，43，47，51，,因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=2, 公差d=12的等差数列cn,
