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1、3.4 基本不等式,学习目标：,1、知道什么是基本不等式及其推导过程,2、会用基本不等式解决简单的问题,锦山蒙中高二数学,几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,结论：一般的，如果,证明：,证明：,即：,R,R+,（1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同,（2） 称为正数a、b的几何平均数 称为它们的算术平均数。,利用基本不等式 求函数的最值时需要同时满足以下三个条件：,（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析
2、式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。,不正,不定,不等,练习1:,不正,不正,不等,分析：本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。,分析：本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。,大家来挑错！,本题的解答没有注意 本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得。
3、,大家来挑错!,解答是错误的，原因是，当x0时，就不能运用公式.事实上，当x0时，y0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-,-22,+).,大家来挑错!,求函数yx 的值域,不等式2：,可变形为:,推广：（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。,二、利用基本不等式 求函数的最值,推广：（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。,和定积最大，积定和最小,即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值,积为定值，则可求其和的最小值,归纳：见和想积，乘积为定值，则和有最小值。,例3：,归纳：见积想和，和为定值，则乘积有最大值。,变式1：
4、,A,例题讲解,例1 已知x、y都是正数，求证：,（2）（xy）（x2y2）（x3y3） 8x3y3。,随堂练习,1、已知a、b、c都是正数，求证：（ab）（bc）（ca） 8abc。,变式、已知a、b、c都是正数，a + b + c = 1,求证：（1 a）（1 b）（1 c） 8abc。,2、证明：a2b2c2 ab + bc + ca。,变式：已知a、b、c都是正数，证明：,1.凑项,：使积成为定值,4,5,1,32,2.凑系数,：使和成为定值,3.分离法,9,2,1,4.关于“1”的灵活运用,变式：,16,16,例：已知lgx+lgy1， 的最小值是_.,2,5.基本不等式与对数相结合,2,几种利用基本不等式求最值的技巧:,2.凑系数,1.凑项,3.分离,4.“1”的妙用,小结：,作业:,
