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1、基本不等式,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究1,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积和S =,、S与S有什么样的不等关系？,探究：,SS即,问：那么它们有相等的情况吗？,(ab),猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(ab),(ab),思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,重
2、要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,分析法,问题二,证明不等式：,特别地，若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们
3、的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作
4、垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,分析: x+(1-2x) 不是 常数.,2,=1为,当且仅当 时, 取“=”号.,例2. 若 0 x , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.,若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_,若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_.,已知函数 ，求函数的最小值和此时
5、x的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件,“美女”找茬,已知函数，求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件.如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.,小结：,求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”,2. 利用基本不等式求最值,1. 两个重要的不等式,1.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值,4 已知x0,y0,且x+2y=1,求的最小值,2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值,练习题：,当x=6,y=4时,最小值为48,最小值为8,3.已知x0，求函数 的最大值.,题型一分式形函数的最值求法,典例剖析,
