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1、基本不等式,北师大版必修5,ICM 2002 会标,右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的,它标志着我国古代的数学成就.,一、新课引入,观察：这会标中含有怎样的几何图形？,二、新知探究,探究1,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积和S =,、S与S有什么样的不等关系？,SS即,a,b,(ab),a,b,D,A,B,C,(ab),结论：一般地，对于任意实数a、b，有 当且仅当a=b时，等号成立,问题：是否a,b为任意实数时， 都成立？你能证明吗？,探究2,（作差法）,证明:,如果用 分别替换a,b会得到怎样的结论呢？,探究
2、3,基本不等式,当a0 ,b0 时,几何平均数,表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当a=b时取等号，此不等式称为基本不等式,算术平均数,均值不等式,A,C,B,D,O,令AC= a , CB= b,因为,所以,当且仅当C与O重合，即a=b时，等号成立,探究4,例1：已知x，y为正数，求证:,证明：,三、知识运用,当且仅当x=y时取等号,巩固练习：,证明：,例2：设，均为正数，证明:不等式,证明：因为a,b均为正数，由基本不等式，可知,也即,四、拓展应用,下面给出这个不等式的几何解释,巩固练习,如图3-23，在圆O的上半圆中，设AC=a,CB=b,OF垂直AB交上半圆于点F,请利用图中线段关系找出关于a,b的不等关系,问题1：这节课学习了哪些重要不等式？,五、归纳小结,不等式1：,不等式2：,问题2：本节课涉及的最主要数学思想是？,数形结合,课后作业,(从代数和几何两方面给出证明）,谢谢大家！,
