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1、第五节 对数与对数函数,基础知识梳理,1对数一般地，如果a(a0且a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫做 ，N叫做 ，式子logaN叫做 常用对数：通常将log10N的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作 .,底数,真数,以a为底N的对数,lgN,基础知识梳理,自然对数：通常将使用以无理数e2.71828为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作 .对数恒等式：alogaN (a0且a1，N0)叫做对数恒等式对数换底公式：logbN (c0，且c1),lnN,N,基础知识梳理,对数的性质：(1)负数和零没有对数；(
2、2)1的对数是零，即loga10；(3)底的对数等于1，即logaa1.,基础知识梳理,2对数的运算性质如果a0且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN) ；(2)Loga ；(3)loganbm logab；(4)logaMn (nR),logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,基础知识梳理,3几个小结论(1)loganbnlogab；(2)loga logaM；(3)(logab)(logba)1.,基础知识梳理,logax22logax是否正确？,思考？,基础知识梳理,4对数函数 函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数其中x是自变量 互为反函数，其图象关于直线
3、对称,对数函数与指数函数,yx,基础知识梳理,5.对数函数的图象和性质（见下表）,基础知识梳理,减,增,y0,y0,y0,y0,y0,y0,三基能力强化,三基能力强化,2(2009年高考湖南卷改编)若log2a1，则a，b的取值范围是_,解析：由log2a1b0.,答案：0a1，b0,三基能力强化,三基能力强化,4若f(x)logax在2，)上恒有f(x)1，则实数a的取值范围是_答案：(1,2),三基能力强化,5函数ylog (x23x2)的递增区间是_答案：(，1),课堂互动讲练,简单的对数式的化简与求值是要求在熟练掌握对数的运算性质基础之上进行的，抓住化简的关键，如同底，换底等，才能顺利
4、求值,课堂互动讲练,计算：(1)(lg2)2lg2lg50lg25；(2)(log32log92)(log43log83)；,课堂互动讲练,【思路点拨】把式子中的对数化为最简形式，再根据对数的运算性质计算【解】(1)原式(lg2)2(1 lg5)lg2lg52(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2；,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【点评】对数式的有关化简及运算，应熟练掌握对数的运算性质，对有些对数公式及结论的应用要灵活，能结合变形形式，对有关条件或运算形式进行准确地定位，从而得出结果,课堂互动讲练,1计算：(1)(lg2)3(lg5)33lg2lg5；(2)已
5、知loga2m，loga3n，求a2mn的值解：(1)(lg2)3(lg5)33lg2lg5(lg2lg5)(lg2)2lg2lg5 (lg5)23lg2lg5lg10(lg2lg5)23lg2lg53lg2lg51.,跟踪训练,课堂互动讲练,(2)法一：loga2m，am2.loga3n，an3.故a2mn(am)2an4312.法二：loga2m，loga3n，a2mna2loga2loga3=aloga1212.,跟踪训练,课堂互动讲练,要正确识别函数图象，一是熟悉各种基本函数的图象，二是把握图象的性质，根据图象的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性,课堂互动讲练,当a1时
6、，函数ylogax和y(1a)x的图象只可能是_,课堂互动讲练,【思路点拨】利用对函数的性质判断函数图象【解析】当a1时，函数y=logax的图象只能在和中选又a1时，y=(1-a)x为减函数【答案】,课堂互动讲练,【点评】图象问题涉及知识面较广，函数的性质几乎都在图象上有所反映，抓住图象的显著特征如单调性、奇偶性、对称性、定义域、值域等来判断，有时还要注意图象的变化趋势以及与x、y轴的交点等,课堂互动讲练,2在例2中“a1”改为“00，y(1a)x为增函数，正确,互动探究,课堂互动讲练,对数函数性质中，单调性及其应用是重点，多数情形下，要对单调性分类讨论,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【思路点
7、拨】化为同底，利用单调性比较,课堂互动讲练,(2)法一：0log0.71.1log0.71.2，即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.,课堂互动讲练,法二：作出ylog1.1x与ylog1.2x的图象如图所示两图象与x0.7相交可知log1.10.7ac，而y2x是增函数，2b2a2c.,课堂互动讲练,【点评】对数的大小比较，可借助图象来研究，一般先观察正负情况，再利用单调性比较，有时还需借助中间量，如“1”，比较大小,课堂互动讲练,解析：1alog232,0blog321，clog 2log32，dlog23，dcba.,跟踪训练,答案：dcba,课堂互动讲练,(解题示范)(
8、本题满分16分)对于函数f(x)log (x22ax3)，(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数a的取值范围；,课堂互动讲练,(3)若函数在1，)上有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数的值域为(，1，求实数a的所有取值；(5)若函数在(，1上是增函数，求实数a的取值范围,课堂互动讲练,【思路点拨】此题共有5个小题，最后所求均是a的范围，而已知又是常见的关于定义域、值域及函数的性质的条件，概念性很强，需要熟练运用对数函数与二次函数的性质求解，解答本题需要非常准确地理解与掌握函数中的每个概念,课堂互动讲练,【解】设ug(x)x22ax3(xa)23a2.1
9、分(1)u0，对xR恒成立，umin3a20.故a的取值范围为 .4分,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(3)函数f(x)在1，)上有意义ug(x)0对x1，)恒成立，因此应按g(x)的对称轴xa分类，则得：解这两个不等式组得到实数a的取值范围是(2， ).10分,课堂互动讲练,(4)函数f(x)的值域为(，1，g(x)的值域是2，)，因此要求g(x)能取遍2，)的一切值(而且不能多取)由于g(x)是连续函数，所以命题等价于g(x)min3a22，故a1.13分,课堂互动讲练,(5)函数在(，1上是增函数g(x)在(，1上是减函数，且g(x)0对x(，1恒成立， ，故a的取值范围为1,2).16分
10、,课堂互动讲练,【点评】此题用同一个函数考查了常见的既是重要的基本问题，又是容易混淆的难点问题做完后，应注意比较与总结如函数在某区间上有意义与其定义域是某区间两者之间是有本质的区别函数在某区间上有意义说明此区间是它的定义域的一个子集，而不一定与定义域相同第(1)问与第(2)问也容易混淆定义域为R是指函数式对任意xR都有意义；值域为R，定义域不一定为R.这要通过分析所给函数的性质来解决，如：ylgx，x的取值范围只要包含(0，)，y便可取到全体实数,课堂互动讲练,4(本题满分12分)已知：f(x)lg(axbx)(a1b0)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)在其定义域内的单调性；(3)
11、若f(x)在(1，)内恒为正，试比较ab与1的大小,自我挑战,课堂互动讲练,解：(1)由axbx0，( )x1， 1，x0，f(x)的定义域为(0，).4分,自我挑战,课堂互动讲练,(2)设x2x10，a1b0，ax2ax1，bx1bx2，bx2bx1，ax2bx2ax1bx10，6分f(x2)f(x1)0，f(x)在(0，)内是增函数.10分,自我挑战,课堂互动讲练,(3)当x(1，)时，f(x)f(1)，要使f(x)0，须f(1)0，ab1.12分,自我挑战,规律方法总结,1比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或
12、与1比较,规律方法总结,2把原函数做变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是求对数函数的常见题型在给定条件下，求字母的取值范围也是常见题型，尤其是与对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜3对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程,规律方法总结,4解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有：(1)形如logaf(x)logag(x)(a0且a1)的方程，化成f(x)g(x)求解(2)形如f(logax)0的方程，用换元法求解；(3)形如logf(x)g(x)c的方程，化成指数式f(x)cg(x)求解,规律方法总结,5在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容易产生增根或减根，因此解对数方程要注意验根6含参数的指数、对数方程在求解时，注意将原方程等价转化为某个混合组，并注意在等价转化的原则下化简，求解，并对参数进行分类讨论,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,
