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1、华中师范大学 史为林（）整理2010年暑假华杯赛赛前培训经典例题分析（3） 姓名 一、准确填空：1.果品公司购进苹果5.2万千克，每千克进价是0.98元，付运费等开支1840元，预计损耗为1%.如果希望全部进货销售后能获利17%，问：每千克苹果零售价应当定为 元?解：全部进货所需费用：0.9852000184050960184052800(元)能销售的总量：52000(1-1%)5200099%51480(千克)设每千克苹果零售价应当定为x元，则52800(1+17%)x51480x=528001.1751480x=1.2答：每千克苹果零售价应当定为1.2元.2.计算：19+199+1999+
2、 =?解：19+199+1999+(20-1)+(200-1)+(2000-1)+( -1)20+200+2000+-0-199920221评注：像上例那样，加减运算时，常采用凑整的方法使运算简便，有时，加减运算还可采用其他方法，使运算简便.如：计算：(2000-1)+(1999-2)+(1998-3)+(1002-999)+(1001-1000)?解法一：先把每个小括号内的结果算出来，所得的差分别是1999、1997、1995、3、1，可按求连续奇数的和，求出算式的结果.原式1999+1997+1995+3+1(1999+1)高斯求和公式2000100011000000或原式1999+199
3、7+1995+3+1 从1开始若干个连续奇数和等于奇数个数的平方1000000解法二：先把所有的小括号去掉，然后利用加法交换律，减法的运算性质进行计算.原式2000-1+1999-2+1998-3+1002-999+1001-1000(2000+1999+1998+1002+1001)-(1+2+3+999+1000)(2000+1001)-(1+1000)3001500-1001500高斯求和的方法(3001-1001)50020005001000000当然，进行分数加减时，需考虑分母的特征，选择恰当的方法进行计算.总之，进行加减计算，究竟采用什么办法，需要依据题目的特征，具体问题具体分析.
4、二、谨慎推理：3某商贸服务公司，为客户出售货物收取3%的服务费，代客户购置物品收取2%服务费.今有一客户委托该公司出售自产的某种物品并代为购置新设备.已知该公司共扣取了客户服务费264元，而客户恰好收支平衡，问：所购置的新设备花费了多少元?解：为简洁一些，用字母代表出售货物的钱，用字母代表购置设备的钱，根据题意，该公司共扣取了客户服务费264元,列出关系式： 3%+2%264(元).又根据题意，“客户恰好收支平衡”，即(1-3%)+2%，(1+2%)1-3%，所以(1+2%)1-3%3%+2%264(元)，也就是(1+2%)3%+2%(1-3%)264(1-3%)(元)，(1+2%)3%+2%
5、(1-3%)264(1-3%)(元)因此，264(1-3%)(1+2%)3%+2%(1-3%)26497%1.023%+0.972%264973.06+1.942560855121.6(元)答：所购置的新设备花费了5121.6元.4一列数，前3个是1，9，9，以后每个都是它前面相邻3个数字之和除以3所得的余数，求：这列数中的第1999个数是几?解：根据题意，写出这列数的一部分，1，9，9，1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0，1，1，2.可以看出，除了前3项1，9，9，这个数列每隔13项(1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0)循环一次，所以，这列数中的第1999个数
6、是几，关键是看1999个数中除前3个以外，每13个数循环一次，循环若干次后的余数.(1999-3)131996131537也就是说，这列数中的第1999个数，正好是按1，1，2，1，1，1，0，2，0，2，1，0，0这样的顺序每13个数循环一次，总共循环了第153次后，第154次循环开始的第7个数，正好是0.答：这列数中的第1999个数是0.三、急中生智：图7-75.将19这九个数字填入图7-7的9个圆圈中，使每个三角形和每条直线上的3个数字之和相等(写出一个答案即可).解答：根据题意，将19这九个数字填入9个圆圈中，正好将19这九个数字的和平均分成三组，因此可以求得每个三角形和每条直线上的3
7、个数字之和：(1+2+3+8+9)345315按题目要求，图7-7共有六祖数，用了18个数字，每个数字使用了2次。相当于图7-7a将19这九个数字分为3组，每组数字和是15，有两种不同的分法。现在分配如下：第一种：（1，6，8），（2，4，9），（3，5, 7）第二种：（1，5，9），(2, 6, 7), (3, 4, 8) 图7-7b将第一种分法的三组数放在三条线段上，第二种的三组数自然就被确定在三个三角形上（见图7-7a）.类似，将第二种分法的三组数放在三条线段上，第一种的三组数自然就被确定在三个三角形上（见图7-7b）所以，如果不计较三个三角形和三条直线的相互位置，那么图7-7a和图7-
8、7b则是仅有的两种填法.评注：解答填数问题，除了首先找出平均数外，有时还需要在不止一个的答案中，选择符合题目要求的答案.如:图7-8在一个由六个圆圈组成的三角形里，把10到15这6个数分别填入图7-8的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是多少？.解答：根据题意，10到15这6个数的和是75，而其中有三个数被加了两次，为使三角形的每条边上的三个数的和S不仅相等，且S的值最大，那么被加了两次的3个数应是13、14、15，所以，三角形的每条边上的三个数的和是：图7-8a(75+13+14+15)3117339这就是说，三个较大的数(被加了两次的数)应分别填入三角形的三个
9、顶点上(图7-8a).6.如图7-9，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求图示立体的表面积和体积.(取3.14)图7-9解：根据题意，所求图形的表面积和体积，都和被挖去的部分有关。根据题意，所求图形表面积由两部分组成：外侧表面积和内侧表面积.外侧表面积，实际上是原来大正方体的表面积，除去四个边长为4厘米的正方形的面积，再除去两个直径为4厘米的圆的面积(见图7-9).即 图7-9a10106-444-2600-64-25.12510.88(平方厘米)
10、而内侧表面积是被挖去部分的表面积，除去两个直径为4厘米的圆面积，再除去四个边长为4厘米的正方形面积(见图7-9a).即192+6.88+75.36274.24(平方厘米)因此，所求图形的表面积：274.24+510.88785.12(平方厘米)结合图示，所求图形的体积等于原来大正方体的体积减去被挖去部分的体积.原正方体的体积是1010101000(立方厘米)，被挖去部分的体积（见图7-9b）： (443)4+444+(10-4)22192+64+75.36 图7-9b331.36(立方厘米).因此，所求图形的体积： 1000-331.36668.64(立方厘米).答：所求立体的表面积是785.
11、12平方厘米，体积是668.64立方厘米.四、规律探求：7是自然数，且，求的最小值.解答：问题相当于求最小的，使能被17整除。由于9与17是互质的，问题又转化为相当于求最小的，使得 能被17整除。大家知道：一个小数被10乘过之后，就等于将原小数的小数点向右移一位.将上面那个循环小数记作，于是，其中将中的小数点向右移n位.由此可见，如果b是正整数，必须而且只须n是的循环节中所含数字的个数的倍数，即n16k，k1，2，.当k1时，有最小的n16，因此，,于是.8对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1，如此进行直到为1，操作停止.求经过9次操作变为1的数有多少个?解：设给出一个
12、自然数，按照题目中指定的操作，可以经过9次操作，作出以下10个自然数：.已知，有多少个自然数按题目的操作得到1？只能是2；，这时有多少个自然数按题目的操作得到2，显然，两种可能和1；再倒推一次，有三种可能：2，3，8，依次计算，画出树形图（图7-12）。做过第k步之后，设是为的偶数的个数，是奇数的个数(0，1，2，9)，如由图712所示，：由操作方法可知：对于偶数，有和依照题目操作可以得到这个偶数；对于奇数，就仅有一个数依照题目操作可以得到这个奇数。所以：依上述规律，列出下表： 偶数个数0112358132134奇数个数101123581321答：经过9次操作后变为1的数有55个.五、小试牛刀
13、：9.已知为自然数，是100的倍数，求的最小值.解：因为100整除，100425， .，否则，就不能被25整除，可见。这时候，若有最小的使被25整除，则有最小的使是100的倍数。可以取尽可能的小，所以，.为表达简洁一些，下面的式子评注： 表示2被5除的余数是2； 表示被5除的余数是4； 表示被5除的余数是3； 表示被5除的余数是1；这时候若 并且； 并且时，则有被5整除余1，应当被5整除。所以可以计算：（注意） 当 并且时，当，50，不是25的倍数；当，65，不是25的倍数；当，1025，是25的倍数；此时其余的情况， 并且时，15，不是25的倍数；其余的情况，.答：使得100整除的最小的的值
14、是13.评注：解题过程应用了同余的性质，请参考“华罗庚金杯”少年数学邀请赛培训教材中第三篇。10.若1998个小朋友围成一圈，从某人开始，逆时针方向报数，从1报到64，再依次从1报到64，一直报下去，直到每个报过10次为止，问：(1)有没有报过5，又报过10的人?有多少?说明理由；(2)有没有报过5，又报过11的人?有多少?说明理由.解答： 做带余除法：，余数是14。这个余数表明，如果某个小朋友在第轮报数中报的数是，那么，在第轮中报的数是则或者（如果），和有相同的奇偶性，说明同某个小朋友所报的数或者都是偶数，或者都是奇数。所以没有一个小朋友既报过5，又报过10； 某个小朋友第一次报5后，经过第
15、轮所报的数是：被64除的余数。例如：第2次报数时，这名小朋友报的数是，不难计算出，当时， ，这名小朋友报的数是11； 前面第说明第1轮报数为5，则在第6轮报11，, 第5轮报数为5则在第10轮报11。所以在10轮报数中只有前5轮报5的小朋友，才有机会报数11。所以：，上式说明在前5轮报数中共有157名小朋友报5,即在10论报数中共有197名小朋友报过5又报过11.六、大题小做：图7-1311.在三角形ABC中，D，E是BC边上的点，BDAB，CEAC，又DAE13BAC，求BAC的度数(图7-13).解：ABD，AEC是两个等腰三角形，ADBBAD，AECCAE，在AED中，DAE+AED+A
16、DE180，所以，CAE+BAD+EADBAC+2EAD53BAC180，即BAC108.答：BAC的度数是1080.12若152个球，放入若干个同样的箱子中，一个箱子最少放10个，最多放20个，且各个箱子的球数均不相同，问：有多少种放法?(不计箱子的排列，即两种放法，经过箱子的重新排列后，是一样的，就算一种放法)解答：如果放11个箱子，则10+11+20165152. (1)因此，不可能放11个箱子.如果放9个箱子，则12+13+20144152也不可能.所以只能放在10个箱子中.考虑11个数和为165,见(1)式.165-15213.所以，只有一种放方法：即将152个球放在10个箱子里，每个分别装球数分别是10、11、12、14、15、16、17、18、19、20.愿各位同学学习进步！金榜题名！
