算符及其运算规则ppt课件.ppt

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1、第三章 量子力学中的力学量,3-1 算符及其运算规则 3-2 厄米算符的本征问题 3-3 坐标算符和动量算符 3-4 角动量算符 3-5 共同完备本征函数系 力学量完全集 3-6 力学量的平均值 3-7 展开假定 3-8 不确定关系 3-9 电子在库仑场中的运动 3-10 氢原子问题 3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律,3-1 算符及其运算规则,一、算符二、算符的运算规则三、算符的对易关系,3-1 算符及其运算规则,一、算符,若某一运算将函数 变为函数 ,记为,则表示这一运算的符号 称为算符。,动量算符和哈密顿算符是量子中常见的算符,量子力学中,算符表示它对波函数的一种运算或者操作。

2、如动量算符表示对波函数的微商运算。,如果算符满足,称为线性算符。,量子力学中的可观测量(也称为力学量或物理量,如坐标、动量、角动量和能量等)与相应的算符相对应,而且对应的算符都是线性算符。这是量子力学的一个基本假设。,力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。,二、算符的运算规则,1单位算符,称为单位算符。显然,任意波函数皆为单位算符的本征态,且本征值为1。,2算符之和,对任何波函数,有,称算符 为算符 和算符 之和。,算符的加法运算满足,交换律:,结合律:,对任何波函数,有,3算符之积,对任何波函数,有,称算符 为算符 和算符 之积。,一般情况下,这是算符运算与普通代数运算的重要区

3、别。,4算符之幂,定义:算符 的 次幂,满足,5逆算符,设,称算符 为算符 的逆算符。,注意:并非所有的算符都具有相应的逆算符,只有当算符的本征值都不为零时才存在逆算符。,满足,6算符的共轭,对任意的波函数 和 以及算符 ,令,定义算符 的共轭 满足,即,7厄米算符,若算符 等于其共轭 ,即,则称算符 为厄米算符或自共轭算符。,引入厄米算符的意义在于,量子力学中可观测量对应的算符都是厄米的。,例1求常数算符 的共轭。,即,所以,常数算符的共轭等于其复共轭。,例2求微分算符 的共轭。,解:,解:,所以,由此例可以看出,算符 的共轭为,例3证明: 。,解:,因为,所以,推广,例4求算符 的共轭。,

4、解:,由例2和例4可以看出,动量算符和角动量算符都是厄米算符。,三、算符的对易关系,1对易关系,引入符号,称为算符 和 的对易关系或对易子。,如果 ,则称算符 和 是对易的(或可交换的);否则,称 和 是不对易的。,例如,对于坐标与动量算符,显然有,根据所研究的对象不同,有时要用到两个算符的反对易关系,其定义为,2量子力学基本对易关系,对于任意的状态 ,有,所以,此即著名的海森堡对易关系,它是量子力学最基本的对易关系。,因为,所以 ,因此,用类似的方法可知,时间与能量的对易关系为 。,例5计算对易关系 。,解:,所以,3对易关系代数的运算规则,例6计算 。,解:,利用例5结果,也可以求得,例7计算 。,解:,定义轨道角动量算符 ,则其分量形式为,例8计算 、 。,解:,引入记号 (反对称三阶张量),定义,总结起来,有,例9计算 、 。,解:,总结,有,解:,例10计算 。,总结,有,因为,所以,上式也可写成,解:,例11角动量算符平方算符 ,计算 。,总结,有,

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