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1、3.7 力学量算符之间的对易关系,讨论微观态 中某一力学量 时，总是以 的本征值谱作为力学量 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同力学量 ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理:,算符之积,若 ( ) = () = 则 = 其中是任意波函数。,一般来说算符之积不满足 交换律，即 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。,对易关系,若 ，则称 与 不对易。,由于,所以,(3.7-1),为了运算上的方便，引入量子括号,上式可写为,(3.7-2),同理可得,(3.7-3),(3.7-4),不难证明对易括号满足如下对易关系：
2、 1) , = - , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。,证明 3) , = ,+ ,利用,则, - ,(3.7-5),角动量算符的对易关系,同理可得,写成矢量,(3.7-6),(3.7-7),同理可得,(3.7-8),定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。,证：,由于 n 组成完备系，所以任意态函数 (x) 可以按其展开：,则,因为 (x) 是任意函数,两力学量同时有确定值的条件,体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。,如果力学量 F 有确定值， （x
3、）必为 F 的本征态，即,如果有另一个力学量 G 在 态中也有确定值， 则 必也是 G 的一个本征态，即,结论：,当在 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值，那么 必是 二力学量共同本征函数。,定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。,例 1：,例 2：,力学量完全集合,（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,例 1：,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例 2：,氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：,例 3：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定
4、其状态：,（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。,（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。,测不准关系的严格推导,由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。,问题：,两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？,不确定度：,测量值 Fn 与平均值 的偏差的大小。,若,(3.7-9),令,(3.7-10),测不准关系的严格推导,设二厄密算符对易关系为：,即,由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下
5、列关系：,将,并利用,所以,（二）坐标和动量的测不准关系,（1）测不准关系,由测不准关系确定谐振子的零点能,振子能量,于是：,由于,二均方偏差不能同时为零，故 E 最小值也不能是零。,为求 E 的最小值，取式中等号。,求极值：,解得：,因均方偏差不能小于零，故取正,零点能就是测不准关系所要求的最小能量,则,（三）角动量的测不准关系,例1：利用测不准关系证明，在 Lz 本征态 Ylm 下，Lx= Ly= 0,证：,由于在 Lz 本征态 Ylm 中，测量力学量 Lz 有确定值，所以Lz 均方偏差必为零，即,则测不准关系：,平均值的平方为非负数,欲保证不等式成立，必有：,同理：,例2：L2，LZ 共同本征态 Ylm 下，求测不准关系：,解：,由例1 可知：,例题4 一维运动的粒子处在 求 解：归一化后可得 利用 有,所以,所以,满足不确定关系,例 在对某一状态进行测量时，同时得到能量 能唯一确定这一状态吗？ 解：能。因为三个力学量对易， 故共同本征态为,例题 求粒子处于 时角动量 分量和 分量的平均 值 。 解：首先应注意， 是 的共同本征函数，而 不对易，故 不是 的本征函数。 利用对易关系 ，则,同理 由于坐标 与 的对称性，可得 ，,故,
