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1、选修1-2第二章推理与证明,类比推理,弋阳二中数学组,2.从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,茅草是齿形的；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的.,这个推理过程是归纳推理吗？,情景创设1：,1.列车车厢内，一位年纪大的旅客对另一名年轻的旅客说：“伙计，你不要吸烟了，车厢内不准吸烟。”“难道我在吸烟吗?”“你嘴上不是叼着烟斗吗?”“这能说明什么呢，我的鞋穿在脚上，可我走路了没有?”,相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的
2、某些已知生物的生存等。,地球上有生命,火星上可能有生命,上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）,情景创设2：,3.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.,情景创设：,这几个推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归纳推理有什么区别？,这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理,一、类比推理的定义:,类比推理的几个特点:,1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.,2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊
3、属性.,3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.,类比推理的一般步骤：, 找出两类对象之间相似形或一致性； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个命题(猜想)；,例1：试根据等式的性质猜想不等式的性质.,等 式,不等式,(1) a=b a+c=b+c,ab a+cb+c,(2) a=b ac=bc,ab acbc,ab a2b2,(3) a=b a2=b2等等,解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,数学应用：,例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,解：圆与球在它们的的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.,圆弦直径
4、长,球,截面圆,大圆,与圆心距离相等的两弦相等,圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦,球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面,与球心距离相等的两截面面积相等,球的体积,圆的面积,圆的周长S=2R=d,球的表面积S=4R2=d2,例3：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,3个面两两垂直的四面体,PDFPDEEDF90 4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S,s1,s2,s3,c2=a2+b2,利用等差数列性质类比等比数列性质,例4：,n+m=p+q时,am+an= ap+aq,n+m=p+q时,aman= apa
5、q,任意实数a、b都有等差中项 ，为,当且仅当a、b同号时才有等比中项 ，为,成公差为 等差数列,成公比? 等比数列,下标等差,项等差,下标等差,项等比,类比的风险,合情推理,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。,合情推理的应用,数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测新的结果；,结论不一定成立.,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,
