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1、.,1,第四章 拉普拉斯变换,u,.,2,优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。,.,3,本章内容及学习方法,本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据它们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介绍系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。,.,4,一从傅里叶变换到拉普拉斯变换,则,1拉普拉斯正变换,.,5,2拉氏逆变换,.,6,3拉氏变换
2、对,.,7,二拉氏变换的收敛,收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；,.,8,u,部分s平面收敛的情况：,.,9,.,10,.,11,例4 时限信号的拉氏变换(如门信号)。,整个s平面收敛的情况：,这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个 s 平面。,整个s平面都不收敛的情况：,.,12,:,.,13,.,14,一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。,.,15,三一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.指数函数,全s域平面收敛,3.单位冲激信号,.,1
3、6,4tnu(t),.,17,5.复指数函数,.,18,4.3 拉氏变换的基本性质,u,.,19,.,20,“周期信号”的拉氏变换,第一周期的拉氏变换,时移特性,无穷级数求和,.,21,时移特性例题,【例1】,已知,【例2】,.,22,用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换,.,23,.,24,复频移特性举例,.,25,.,26,例：,两边取拉氏变换：,整理得：,.,27,电感元件的s域模型,电感元件的s模型,应用原函数微分性质,设,.,28,.,29,电容元件的s域模型,电容元件的s模型,.,30,.,31,.,32,.,33,初值定理,.,34,终值存在的条件:,证明：,根据初值定理证明时得
4、到的公式,终值定理,.,35,初值定理举例,即单位阶跃信号的初始值为1。,例2,例1,.,36,4.4 拉普拉斯逆变换,由象函数求原函数的三种方法 部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况,.,37,F(s)的一般形式,ai,bi为实数，m,n为正整数。,分解,零点,极点,.,38,拉氏逆变换的过程,.,39,部分分式展开法(mn),1.第一种情况：单阶实数极点,2. 第二种情况：极点为共轭复数,3.第三种情况：有重根存在,.,40,第一种情况：单阶实数极点,(1)找极点,(2)展成部分分式,(3)逆变换,求系数,.,41,如何求系数k1, k2, k3？,.,42,第二种情况：极点为共轭复数,共
5、轭极点出现在,.,43,求f(t),.,44,例题,.,45,F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法,求下示函数F(s) 的逆变换f(t)：,解：,求得,另一种方法,.,46,3. 第三种情况：有重根存在,如何求k2 ?,.,47,如何求k2?,设法使部分分式只保留k2，其他分式为0,.,48,逆变换,.,49,一般情况,求k11，方法同第一种情况：,求其他系数，要用下式,.,50,F(s)的两种特殊情况,非真分式 化为真分式多项式,.,51,1.非真分式真分式多项式,作长除法,.,52,2.含e-s的非有理式,.,53,2*. 已知某LTI系统的微分方程为 若输入 ， ， ，求该系统的零
6、状态响应、零状态响应及全响应。,系统频域分析课堂练习：,1. 已知某LTI系统的阶跃响应 ，若输入 ，求该系统的零状态响应。,.,54,4.5 用拉氏变换法分析电路、s域元件模型,主要内容： 用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤 微分方程的拉氏变换 利用元件的s域模型分析求解瞬态电路,.,55,一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤,列s域方程(可以从两方面入手) 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换 直接按电路的s域模型建立代数方程 求解s域方程 ，得到时域解答,.,56,二、微分方程的拉氏变换,若采用 0- 系统，求拉氏变换时减去的是信号在0- 时刻的值； 若采用 0+ 系统，求拉氏变换时减去的是
7、信号在0+ 时刻的值。,.,57,例4-4 电路在t=0时开关闭合，求输出信号Vc(t)。,两边取拉氏变换：,列写微分方程：,解得：,求拉氏反变换：,.,58,.,59,.,60,.,61,.,62,结论：分析电路时，采用 0- 系统求解瞬态电路更为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件起始状态，求出元件的 s 域模型。,.,63,三、利用元件的 s 域模型分析瞬态电路,求响应的步骤： 画0- 等效电路，求起始状态； 电路元件的s域模型电路的 s 域等效模型； 采用KVL和KCL，列出 s 域方程(代数方程)； 解 s 域方程，求出响应的拉氏变换U(s)或I(s)； 拉氏反变换求u(t
8、)或i(t)。,.,64,.,65,.,66,以上是电路定理的推广，对于线性稳态电路分析的各种方法都适用。,.,67,【例4-5-1】如图所示，t0开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。,R,C,e(t)=-E,e(t)=E,ic(t),i(t),S,2,1,.,68,.,69,.,70,.,71,.,72,例4-5-2,.,73,（4）求反变换,.,74,求,采用0-系统,采用0+系统,两种方法结果一致。使用0-系统使分析各过程简化。,.,75,(3)对微分方程两边取拉氏变换,采用0-系统,.,76,采用0+系统,(4)原方程取拉氏变换,.,77,4.6 系统函数,.
9、,78,.,79,.,80,.,81,.,82,.,83,.,84,.,85,.,86,系统函数课堂练习：,某级联系统如下图所示，已知 ， ， ，试求 、 、级联系统的系统函数 及单位冲激 响应 。,.,87,4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性,冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。,在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。,主要优点：,1可以预言系统的时域特性2便于划分系统的各个分量 (自由/强迫，瞬态/稳态)3可以用来说明系统
10、的正弦稳态特性,.,88,在s平面上，画出H(s)的零极点图： 极点：用表示，零点：用表示,1系统函数的零、极点,H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应,.,89,.,90,.,91,.,92,.,93,极点在左半平面,见教材P223结论,.,94,.,95,瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着t 增大，将消失。稳态响应完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。,225,.,96,例4-7-2，教材习题2-6(1),给定系统微分方程,试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。,解：
11、,方程两端取拉氏变换,.,97,零输入响应零状态响应,则,.,98,稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应,极点位于虚轴,暂态响应,稳态响应,H(s)的极点,E(s)的极点,自由响应,强迫响应,极点位于s左半平面,教材P227,.,99,4.8 由系统函数零、极点分布决定频域特性,.,100,H(s)和频响特性的关系,频响特性,系统的稳态响应,幅频特性,相频特性（相移特性）,虚轴上的拉氏变换就是傅氏变换,.,101,几种常见的滤波器,.,102,.,103,.,104,.,105,讨论H(s)的几点位于s平面实轴的情况,一阶系统 只含有一类储能元件。转移函数仅一个极点且位于实轴，一般形式为 或 。
12、二阶系统 只含有两类储能元件。转移函数的两个极点都位于实轴。,重点讨论,.,106,例4-8-1,确定图示系统的频响特性。,.,107,频响特性分析,X,高通滤波器的截止频率点,.,108,例4-8-2,研究右图所示RC低通滤波网络的频响特性。,写出网络转移函数表达式:,.,109,频响特性,.,110,4.11 线性系统的稳定性,一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性,.,111,.,112,.,113,.,114,.,115,.,116,.,117,.,118,.,119,.,120,.,121,4.13 拉氏变换和傅氏变换的关系,s的实部,.,122,.,123,.,124,.,125,.,126,.,127,.,128,以上两种方法的结果完全相同,.,129,.,130,.,131,.,132,.,133,电路 s 域分析课堂练习1：,求解下图所示电路的回路电流，已知电感上的初始储能为 ，激励信号 ， ， 。,.,134,电路 s 域分析课堂练习2：,求解下图所示电路的回路电流，已知电容上的初始储能为 ，电感上的初始储能为 ，激励信号 ， ， ， 。,
