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1、9.2 角动量的本征值和本征态,在3.3.2节中，讨论了轨道角动量的性质.在第8章中,讲述了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量.,本节将更一般地讨论角动量的本征和本征态问题.,假设算符,满足下列对易式：,（1）,则以,作为三个分量的矢量算符,，称为角动,量算符.,以下根据式（1）和角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态.,定义,（2）,容易证明,（3）,角动量的对易关系式还有以下表示，首先定义,（4）,其逆表示式为,（5）,那么就有,（6）,（7）,（8）,（9）,由于,（10）,以下分几步进行.,对对易式,取矩阵元,计算得到,即矩阵元对于总角动量是对角的,（11）,（a）,（b
2、）对对易式,取矩阵元,得到,利用式（10），计算得到,所以,（12）,（c）,由矩阵元选择规则（12），只有以下矩阵元有贡献：,得到,再利用,，可知,令,（13）,可得,上式化为,此式有解,（14）,由此得到,所以,计算得到,只相差整数，上界和下界也相差整数,由于相邻,所以,（15）,而,（16）,（d）求,的本征值.按式（8），有,等式两边取平均值,（17）,利用式（10）和（12），得,再利用式（16），可求出,这样角动量本征态写为,(19),（18）,按上面分析,所以,（d）,(21),(22),的矩阵元.利用式（11）、（13）,和（16），可得出,其中,是任意正实数，习惯上取为零，这时矩阵元,为实数,(20),再利用式（5）可求出,及,的矩阵元如下：,（23）,
