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1、,81 多元函数的基本概念,一、区域,二多元函数概念,三多元函数的极限,四多元函数的连续性,邻域、,内点、开集、边界点、边界,连通性、区域、闭区域,n维空间、点的坐标、两点间的距离,二元函数的定义、,值域、二元函数的图形,二元函数连续性定义、,函数的间断点,多元连续函数的性质、,多元初等函数,81 多元函数的基本概念一、区域二多元函数概念三多元,一、区域,设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数与点P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻域，记为U(P0，d )或U(P0)，即,邻域:,U(P0，d ),P | |P P0|d ,d,
2、U(P0，d ),去心邻域：,一、区域 设P0(x0，y0)是xOy平面上的,设E 是平面上的一个点集，P是平面上的一个点 如果存在点P 的某一邻域U(P)，使U(P)E，则称P为E 的内点，,内点：,如果点集E 的点都是内点，则称E为开集,开集：,边界点、边界：,如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边点,开集： E(x，y)|1x2 +y24,E的边界点的全体称为E的边界,设E 是平面上的一个点集，P是平面内点： E,设D是开集如果对于D 内任何两点，都可用属于D的折线连结起来，则称开集D 是连通的,连通性：,区域：,连通的开集称为区域或开区域,闭区域：,开区
3、域连同它的边界称为闭区域,E1和E2都是连通的,D = E1E2是不连通的,E1和E2都是区域,D = E1E2是不区域,E3是闭区域,设D是开集如果对于D 内连通性：区域：,有界点集和无界点集：,对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的距离|AP|不超过K，即 |AP|K对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集,例如 E=(x，y)|1x2y24是有界的， (x，y)|x2y21是无界的,有界点集和无界点集： 对于点集E如果存在正数K,数xi 称为点(x1，x2， ，xn)的第i 个坐标,n维空间：,设n为取定的一个自然数，则称有序n元数组(x1，x2， ，xn)的
4、全体为n维空间，记为R n ,n维空间中点：,每个有序n元数组(x1，x2， ，xn)称为n维空间中的一个点,点的坐标：,n维空间中两点P(x1，x2， ，xn)及Q(y1，y2， ，yn)间的距离规定为,两点间的距离：,数xi 称为点(x1，x2， ，xn),二多元函数概念,设D是平面上的一个点集如果对于每个点P(x，y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为z=f(x，y)(或z=f(P),二元函数的定义：,其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量,例 函数z=ln(x+y)的定义域为 (x，y)|x+y0(无
5、界开区域)；,x+y=0,二多元函数概念 设D是平面上的一个点集如果,二多元函数概念,设D是平面上的一个点集如果对于每个点P(x，y)D，变量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为z=f(x，y)(或z=f(P),二元函数的定义：,其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量,例 函数z=ln(x+y)的定义域为 (x，y)|x+y0(无界开区域)；,函数zarcsin(x2y2)的定义域为 (x，y)|x2y21(有界闭区域),x2y2=1,二多元函数概念 设D是平面上的一个点集如果,值域： z|z=f (x，y)，(x，y
6、)D,二元函数的图形： 点集(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D称为二元函数zf(x，y)的图形,二元函数的图形是一张曲面,例 z=a x+b y + c是一张平面，,M0,值域： 二元函数的图形： 二元函数的图形是一,由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个：,由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原点，半径为a的球面它的定义域为,D =(x，y)|x2y2 a 2,由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y),三多元函数的极限,二重极限的定义：,设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点
7、如果对于任意给定的正数e 总存在正数d ，使得对于适合不等式,的一切点P(x，y)D ，都有 |f (x，y)A|e成立，则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限，记为,或f(x，y)A (r0) ，,这里r|P P0|,三多元函数的极限二重极限的定义： 设函数f,A,xyzOx0 y0M0P0APPPP,x2y2，,则当,时，总有,x2y2，则当时，总有,必须注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在,例,当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数
8、的极限为零，,当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时,必须注意： 例当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0,P0,xyzOP0,解,解,四多元函数的连续性,则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续,二元函数连续性定义：,设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0) D 如果,函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续： 是指函数 f (x，y)在D内每一点连续此时称f (x，y)是D 内的连续函数,二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去,四多元函数的连续性则称函数f (x，y)在点P0(x0，y,若函数f(x，y)
9、在点P0(x0，y0)不连续，则P0 称为函数f(x，y)的间断点 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点,函数的间断点：,f(x，y),例,点(0，0)是f(x，y)的间断点；,x2y21上的点是其间断点,若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连,P0,xyzOP0,多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数,性质1 (最大值和最小值定理)：,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值,性质2 (介值定理)：,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次,多
10、元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均,结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,多元初等函数：,是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的,例如sin(x+y)是由sin u 与u=x+y 复合而成的，它是多元初等函数,结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初,如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的内点，则,用函数的连续性求极限：,D(x，y)| x 0，y 0，点(1，2)是D的内点，函数f(x，y)在(1，2)是连续的，所以,它的定义域为,如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定,解,解,
