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1、第二章 解析函数,1 解析函数的概念,2 函数解析的充要条件,3 初等函数,1 解析函数的概念,1.复变函数的导数与微分,2.解析函数的概念,1. 复变函数的导数与微分,存在, 则就说 f (z)在z0可导, 此极限值就称为 f (z)在 z0,i ) 导数的定义,定义 设函数 w=f (z)定义于区域D, z0为D中一点,点,的导数, 记作,不出D的范围。如果极限,也就是说, 对于任给的,时, 有, 存在, 使得当,应当注意, 定义中,任意的, 定义中极限值存在的要求与,无关, 也就是说, 当,都趋于同一个数。,若 f (z)在D内处处可导, 就说 f (z)在内可导。,(即,)的方式是,的
2、方式,在区域D内以任何方式趋于z0,时, 比值,所以,例1 求 f (z)=z2 的导数。,解 因为,例2 问 f (z)=x + 2yi 是否可导？,解,设,沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，因而,这时极限,设,沿着平行于 x轴的直线趋向于 z，因而,这时极限,所以 f (z)=x + 2yi 的导数不存在。,设,沿着平行于 y轴的直线趋向于 z，因而,这时极限,ii)可导与连续,容易证明, 在z0点可导的函数必定在z0点连续。,事实上, 由在z0点可导的定义，对于任给的,相应地有一个,令,则, 使得当,时, 有,由此得,所以,即,在,连续。,iii) 求导法则,与实函数相同, 复变函数也有
3、类似的求导公式与,法则，罗列如下：, 其中c为复常数。, 其中n为正整数。, 其中c为复常数。, 其中n为正整数。,。,。,。,iv) 微分的概念,小量, 而,设函数w =f (z)在z0可导, 则有,其中,因此,如果函数在z0的微分存在, 则称函数 f (z)在z0可微。,是,的高阶无穷,的线性部,是函数w=f (z) 的改变量,分, 称为函数w = f (z)在点z0的微分, 记作,即,由此可见, 函数w = f (z)在z0可导与在z0可微是等价的。,特别, 当f (z) = z时, 得,。于是上式可变为,若f (z)在区域D内处处可微, 则称 f (z)在D内可微。,2. 解析函数的概
4、念,定义 如果函数 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导, 则称,如果 f (z)在 z0不解析, 则称 z0为 f (z)的奇点,f (z)在z0解析, 若 f (z)在区域D内每一点解析, 则称 f (z)在,D内解析, 或称 f (z)是 D内的一个解析函数(全纯函数或,由定义可知, 函数在区域内解析与在区域内可导是等,价的。但是, 函数在一点处解析和在一点处可导不等价。,即, 函数在一点处可导, 不一定在该点处解析。函数在一,正则函数),点处解析比在该点处可导的要求要高得多。,例3 研究函数,解,和,的解析性。,由解析函数的定义与前面的例题可知，,在复平面内是解析的，而,却是处,处不
5、解析的。下面研究,的解析性。,由于,如果,，那么当,时，上式的极限是零。如果,，令,沿直线,趋于,，由于k 的任意性，,不趋于一个确定的值。所以当,的极限不存在。,时，,因此，,仅在 z = 0 处可导，而在其他点都不,可导，由定义，它在复平面内处处不解析。,例4 研究函数,解,的解析性。,因为w在复平面内除点z=0外处处可导，且,所以在除 z = 0外的复平面内，函数,处处解析，,而z = 0是它的奇点。,所有多项式在复平面内是处处解析的, 任何一个,和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析。,2) 设 h=g (z)在 z平面上的区域 D内解析, w =f (h),在 h平面上的区域
6、G 内解析。如果对D内的每一个点 z,g (z) 对应值 h 都属于G, 则复合函数 w= f g (z)在D内,有理分式函数 P (z)/Q( z)在不含分母为零的点的区域内,是解析函数, 使分母为零的点是它的奇点。,根据求导法则可知：,定理 1) 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g (z)的,解析。,2 函数解析的充要条件,在工程中, 往往是要用复变函数来解决实际问题。,而实际问题中遇到的复变函数, 通常都是某个实变函数,延拓而来的。即, 如果原来有一个实变函数 f (x)，自变,量是实数, 函数值也是实数, 则将x用一个复数代替，就,产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数。,事
7、实上我们只关心这样的复变函数。比如说实变,函数,经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等,函数延拓到复变函数。, 则相应的延拓的复变函数就是,件。设 f (z) = f (x+iy)=u (x, y)+iv (x, y)定义在区域D内,且在D内一点z=x + iy可导。,，有,判断一个函数是否解析，如果只根据解析函数的,定义，往往比较困难。因此，需要寻找判断函数解析,的简便方法。,先考察函数在一点可导(或可微)应当满足什么条,其中,则对于充分小的,令,。由上式得,从而有,由于,，所以,。因此,得知 u(x, y)和 v (x, y) 在(x, y)可微，而且满足方程,这就是函数 f (
8、z) = f (x + iy) =u (x, y) +iv (x, y)在区域D内,一点z = x + iy可导的必要条件。,而且满足方程,方程,称为柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程 。,实际上，这个条件也是充分的。且也有下面的,定理：,定理一 设函数 f (z)= u (x, y)+ i v (x, y)定义在区域,D内, 而 f (z)在D内一点 z=x + iy可导的充分必要条件是:,u (x, y)与v (x, y)在点(x, y)可微, 并且在该点满足柯西-,黎曼(Cauchy-Riemann)方程 。,证 条件的必要性上面已经证明, 下面证充分性。,充分性,由于,这里
9、,充分性,由于,又因为u (x, y)与v (x, y)在点(x, y)可微，可知,因此,根据柯西-黎曼方程,所以,或,最后两项都趋于零。因此,这就是说, 函数 f (z)= u(x, y)+ iv(x, y)在点z=x + iy处可导,因为,，故当,趋于零时，上式右端的,根据函数在区域内解析的定义及定理一，就可得,由定理一可得函数 f (z) = u (x, y)+ iv (x, y) 在点,z = x + i y 处的导数公式：,到判断函数在区域D内解析的一个充要条件。,定理二 函数 f (z)= u(x,y) + i v(x,y)在其定义域D内,解析的充要条件是 u(x, y)与 v(x
10、, y)在D内可微, 并满足,柯西-黎曼方程。,这两个定理是本章的主要定理。不但提供了判断,函数 f (z)在某点是否可导，在区域内是否解析的常用,办法，而且给出了一个简洁的求导公式。是否满足,柯西-黎曼方程是定理中的主要条件。如果 f (z)在区域,D内不满足柯西-黎曼方程，那么，f (z)在D内不解析；,如果在D内满足柯西-黎曼方程, 且u和v具有一阶连续,偏导数, 那么, f (z)在D内解析。对于f (z)在一点,z = x + iy的可导性，也有类似的结论。,例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析：,解,不可导, 处处不解析。,1) 因为,2) 因为,柯西-黎曼方程成立, 由于上
11、面四个偏导数都是连续的,所以 f (z)在复平面内处处可导, 处处解析, 且有,从而,解,例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析：,3) 由,容易看出，这四个偏导数处处连续，但仅当x=y=0时，,才满足柯西-黎曼方程，因而函数仅在z=0可导，但在,复平面内任何地方都不解析。,解,例1 判断下列函数在何处可导, 在何处解析：,32,1) 因为,时，柯西-黎曼方程才成立，故此函数,在直线,从而仅当,解,例 判断下列函数在何处可导, 在何处解析：,上处处可导，而在复平面上处处不,解析。,33,2) 因为,时，柯西-黎曼方程才成立，故此函数,在直线,从而仅当,解,例 判断下列函数在何处可导, 在何
12、处解析：,上处处可导，而在复平面上处处不解析。,例2 设函数,问常数a, b, c, d 取何值时, f (z)在复平面内处处解析?,解 由于,从而要使,只需,因此, 当,内处处解析, 这时,时, 此函数在复平面,35,例 设函数,问常数a, b, c 取何值时, f (z)在复平面内处处解析?,解 先求,从而要使,只需,，因此,所以，有,36,例 设解析函数,的实部,解 由于,又函数解析，则有,即,对,求v关于y的偏导数，得,积分得,，那么求 f (z)。,则,即,所以有,例3 如果,所以u=常数, v=常数, 因而 f (z)在D内是常数。,证 因为,在区域D处处为零, 则 f (z)在D
13、内为,故,一常数。,例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f (z)0，,则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为,证 由于,如果在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导,法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为,利用柯西-黎曼方程得,和,故 uy与 vy不全为零。,常数。,39,例4 如果 f (z) = u + iv为一解析函数，且 f (z)0，,则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必互相正交，其中c1, c2为,因此，二曲线族互相正交。如果uy与vy其中有一个,为零，则另一个必不为零, 此时易知交点的切线一条
14、是,垂直, 一条是水平,仍然正交。,常数。,证,利用柯西-黎曼方程得,3 初等函数,.指数函数,.对数函数,.乘幂与幂函数,.三角函数与双曲函数,.反三角函数与反双曲函数,1.指数函数,内也能定义一个函数 f (z)具有ex的三个性质:,i) f (z)在复平面内解析;,前面的例题中已经知道, 函数,是一个在复平面处处解析的函数, 且有,时, f (z)=ex。f (z)称为指数函数。,记作,实函数中的指数函数是很特殊的, 希望能够在复平面,ii) f (z)= f (z);,iii) 当Im(z)=0时, f (z)=ex, 其中x=Re(z)。, 当y=0,等价于关系式：,为整数),由上式
15、可知,事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有,跟ex一样, exp z也服从加法定理：,鉴于exp z满足条件iii)，且加法定理也成立，为了,方便，往往用ez代替exp z。但必须注意，这里的ez 没有,幂的意义，仅仅作为代替exp z的符号使用，因此就有,由加法定理, 可以推出exp z的周期性。, 即,特别, 当x=0时, 有,其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有的。,它的周期是,2.对数函数,所以,和实变函数一样，对数函数定义为指数函数的反,函数。将满足方程,的函数w = f (z)称为对数函数。令, 则,由于Arg z为多值函数，所以对数函数 w =
16、 f (z)为多,因此,如果规定上式中的Arg z取主值arg z，则Ln z为一单值,函数，记作ln z, 称为Ln z的主值, 因此有,表达。对于每一个固定的k，上式为一单值函数, 称为,Ln z的一个分支。,而其余各值可由,特别, 当z= x 0时, Ln z的主值ln z=ln x, 就是实变,数对数函数。,例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值。,而,(k为整数), 所以它的,主值是 。,不再成立。而且正实数的对数也是无穷多值的。,在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范围内,利用幅角的性质不难证明，复变数对函数函数保持,了实变数对数函数的基本性质：,47,例 求L
17、n (-i), Ln(-3+4i)以及它们相应的主值。,解 因为,所以它的主值就是,而,(k为整数),所以它的主值是,但应注意，与第一章中关于乘积和商的辐角等式,体是相同的，还应注意的是，等式：,不再成立，其中n为大于1的正整数。,一样，这些等式也应理解为两端可能取的函数值的全,对数函数的解析性 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原,点外在其它点都是连续的，而arg z在原点与负实轴上,都不连续。,所以除去原点与负实轴，在复平面内其他点，lnz处处,因为若设 z = x+iy, 则当 z0时,连续。,在区域,数w = lnz是单值的。由反函数的求导法则可知：,综上所述，,内的反函,所以,l
18、nz在除去原点及负实轴的平面内解析。,而且有，Lnz 的各个分支在除去原点及负实轴的,平面内也解析, 并且有相同的导数值.,今后应用对数函数Lnz时, 指的都是它在除去原点,及负实轴的平面内的某一单值分支。,3. 乘幂ab与幂函数,可表示为ab=eblna, 现在将它推广到复数的情形。 设a,为不等于0的一个复数, b为任意一个复数, 定义乘幂,多值的。当b为整数时, 由于,在高等数学中, 如果a为正数, b为实数, 则乘幂ab,ab为ebLna, 即,所以这时ab具有单一的值。,当b=p/q (p和q为互质的整数, q 0)时, 由于,ab具有q个值, 即当k=0,1,.,(q-1)时相应的
19、各个值。,除此而外, 一般而论ab具有无穷多个值。,例2 求,和,的值。,解,54,例 求,和,的值。,解,55,例 求,和,的值。,解,时是与 a的n 次幂及a的n 次根的定义是完全一致的。,i) 当b 为正整数n 时，根据定义,(指数n项),(因子n个),(因子n个),ii) 当b为分数,时，有,因为,其中,所以，如果 a = z为一复变数，就得到一般的幂函数,及,zn 在复平面内是单值解析函数, 且(zn)=nzn-1.,对数函数Ln z的各个分支在除去原点和负实轴的复平面,内是解析的, 因而各个分支在除去原点和负实轴的复平,面内也是解析的，且有,值函数，当b为无理数或复数时，是无穷多值
20、的。同样,的道理，它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面,内也是解析的，并且有,4. 三角函数和双曲函数,现将其推广到自变数取复值的情形, 定义,当z为实数时, 显然这与上式完全一致。,由欧拉公式有,将这两式相加与相减, 分别得到,也容易推出cos z是偶函数, sin z是奇函数：,又由指数函数的导数公式可以求得,从公式还易知,普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立。,为周期, 即,由定义和指数函数的加法定理，可知三角函数许,多仍然成立,由此得,但当z为纯虚数iy时, 有,但当z为纯虚数iy时, 有,所以,这两个公式对于计算cos z与sin z的值有用。,当y时，|siniy|和|co
21、siy|都趋于无穷大，因此，,|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。,其它复变数三角函数的定义如下：,分别称为双曲余弦,正弦和正切函数。,与三角函数密切相关的是双曲函数, 定义,sh z为奇函数，它们都是复平面内的解析函数，导数,不难证明,及,分别为：,65,例 解方程：,解1,即,或,即,所以,66,例 解方程：,解2,即,则,所以,即,5. 反三角函数与反双曲函数,则称w为z的反余弦函数, 记作,反三角函数定义为三角函数的反函数, 设,数。两端取对数得,显然Arccos z是一个多值函数，它的多值性正是cos w的,偶性和周期性的反映。,用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数, 并且,重复上述步骤, 可以得到它们的表达式：,反双曲函数定义为双曲函数的反函数。用与推导,它们都是多值函数。,反三角函数表达式完全类似的步骤, 可以得到各反双曲,函数的表达式：,
