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1、,2,一、重点与难点,重点：,难点：,函数展开成泰勒级数与洛朗级数,函数展开成洛朗级数,3,复数项级数,函数项级数,充要条件,必要条件,幂级数,收敛半径R,复 变 函 数,绝对收敛,运算与性质,收敛条件,条件收敛,复数列,收敛半径的计算,泰勒级数,洛朗级数,二、内容提要,4,1.复数列,记作,5,表达式,称为复数项无穷级数.,其最前面 项的和,称为级数的部分和.,部分和,2.复数项级数,1) 定义,6,2) 复级数的收敛与发散,充要条件,必要条件,7,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,3)复级数的绝对收敛与条件收敛,如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛.,绝对收敛 条件收敛,8,称为这级
2、数的部分和.,3.复变函数项级数,其中各项在区域 D内有定义.表达式,称为复变函数项级数, 记作,9,4. 幂级数,1) 在复变函数项级数中, 形如,的级数称为幂级数.,10,11,此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.,3)收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:,对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处处收敛.,12,13,方法1: 比值法,方法2: 根值法,4)收敛半径的求法,那末收敛半径,那末收敛半径,14,5)幂级数的运算与性质,15,(2)幂级数的代换(复合)运算,16,(3),在收敛圆内可以逐项积分, 即,或,17,5. 泰勒级数,18,2)常见函数的泰勒展
3、开式,19,20,6. 洛朗级数,定理,1),21,某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的, 这就是 f (z) 的洛朗级数.,22,2)将函数展为洛朗级数的方法,(1) 直接展开法,23,三、典型例题,例1 判别级数的敛散性.,解,发散，,收敛，,24,三、典型例题,例1 判别级数的敛散性.,解,25,解,收敛,收敛,三、典型例题,例1 判别级数的敛散性.,26,解,由正项级数的比值判别法知,绝对收敛.,三、典型例题,例1 判别级数的敛散性.,27,例2 求下列幂级数的收敛半径,解,28,29,例3 展开函数 成 的幂级数到 项.,解,由此得,所以,解析函数展为幂级数的方法
4、,利用定义来求.,30,分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.,解,例4 求 在 的泰勒展式.,31,由于,32,例5,分析：利用级数的乘除运算较为简单.,解,故乘积也绝对收敛.,33,例6,设,又,由泰勒展式的唯一性,又,所以,解 利用待定系数法,34,比较两端系数得,35,例7,分析：利用逐项求导、逐项积分法.,解,所以,36,例8,解 利用微分方程法,对上式求导得,37,由此可得,故,38,例9,分析:利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数分成部分分式后, 应用等比级数求和公式.,解,39,故,两端求导得,40,41,例10,解,42,例11,解,有,43,44,同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的.,45,解,例12,46,放映结束，按Esc退出.,
