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1、,第五章 留数理论及其应用,1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则,5.1 留数(Residue),一、留数的引入,0,=,.,的某去心邻域:,D,定义设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0去心邻域内的罗朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数 c1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res f (z), z0 。,由留数定义, Res f (z), z0= c1 (1),综上，,的系数,记作,为 f (z)在 的,。,定义,留数,注,二、利用留数求积分,1. 留数定理 设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ., zn 外处处解
2、析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则,证明,两边同时除以 得，,如图, 由复合闭路原理,求沿闭曲线C积分,求C内各孤立奇点处的留数.,注1,一般规则说明：,2. 留数的计算规则,成Laurent级数求,则有如下计算方法：,1) 应用Laurent展式,2) 求n级极点的一般方法(求导运算),1) 应用Laurent展式,例5.1,解,如果 为 的 级极点,规则2,那末,如果 为 的一级极点, 那末,规则1,2) 求n级极点的一般方法,（当 m=1时就是规则1),规则3,如果,的一级极点,且有,解,例2,例3,解,例2,解,思考题,思考题答案,例3,解,例4,解,故由留数定理得：,(
3、1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。,如,是f (z)的三级极点。,-该方法较规则2更简单！,(2) 由规则2 的推导过程知，在使用规则2时，可将 m 取得比实际级数高，这可使计算更简单。,如,注意积分路线取顺时针方向,三、在无穷远点的留数,说明,记作,1.定义,C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，,=,证,由留数定义有:,证毕,说明: 由定理得,(留数定理),计算积分,计算无穷远点的留数.,优点: 使计算积分进一步得到简化.,(避免了计算诸有限点处的留数),3.在无穷远点处留数的计算,规则4,说明: 定理5.2和规则4提供了计算函数沿闭曲线,积分的又一种方法:,此
4、法在很多情况下此法更为简单.,现取正向简单闭曲线C为半径足够大的,正向圆周 :,于是有,证,证毕,其他奇点.,解,根据定理 5.2与规则4:,与以下解法作比较 :,由规则3,可见, 利用无穷远点的留数更简单.,解,点外, 其他奇点为,则,所以,小结与思考,五、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理. 应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法, 并会应用留数定理计算闭路复积分., 5.2 留数在定积分中的应用,其中,注意: 对 的要求,分母Q(x)次数比分子P(x)至少高两次， 是函数 在上半平面内的有限个孤立奇点；,注意: 对 的要求,分母比分子至少高一次， 是函数 在上半平面内的有限个孤立奇点；,思想方法 :,封闭路线的积分 .,两个重要工作:,1) 积分区域的转化,2) 被积函数的转化,把定积分化为一个复变函数沿某条,注意：其中 是函数 在单位圆内的有限个孤立奇点。,形如,z的有理函数 , 且在单位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 .,包围在单位圆周内的诸孤立奇点.,例5.1 计算积分,分析,因,在实轴上有一级极点,应使封闭路,线不经过奇点, 所以可取图示路线:,解,封闭曲线C:,由柯西-古萨定理得:,由,当 充分小时, 总有,即,记住以下常用结果：,作 业,P120 2；5 （1）(2), 3,
