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1、授课建议,1、根据中学所学的情况，不定积分、定积分的概念与性质、直接积分法，可作简单的复习介绍；,2、重点介绍第一换元法、第二换元法、定积分的换元法、分部积分法、有理式的积分、广义积分；,3、归纳总结积分方法.,建议授课时数：约12学时,第四章 积分学,授课建议 1、根据中学所学的情况，不定积分、定积分的概,我们称一边在坐标轴上，两边垂直于该边，第四边为曲边的四边形（如下图）为曲边梯形.,第一节 定积分的概念与性质,一.定积分的概念,1.曲边梯形的面积,我们称一边在坐标轴上，两边垂直于该边，第四边为曲边的四边,曲边梯形面积的求法：,(1)分割：用n-1个分点,把闭区间 分成n个小闭区间,每一个
2、小区间的长度为,， ， ，, ，相应的曲边梯形被分割成 个小曲边梯形.,曲边梯形面积的求法：(1)分割：用n-1个分点把闭区间,(2)近似：在每一个小区间上任取一点 ，,用,小矩形面积 近似代替第k个小曲边梯形面积，,作和式，即得到曲边梯形面积的近似值，,即,(3)取极限：令小区间长度的最大值趋于零（,即 ），,取极限，得曲边梯形的面积,(2)近似：在每一个小区间上任取一点 ，用小矩形面积,假设函数在 在闭区间 上连续，当和式极,在闭区间 上的定积分(简称为积分). 记作,即,其中 称为积分变量， 与 分别称为积分的下限与上限，函数 称为被积函数，区间 称为积分区间， 称为积分号.,定义4.1
3、.1,存在时，则称极限值为函数,限,2.定积分的定义,假设函数在 在闭区间 上连续，当和式,例4.1.1（阿基米德问题） .,解 把 n等分，则 ；,取 ，那么 ；,因此,例4.1.1（阿基米德问题） .解 把,定积分 的几何意义为：,由 曲线 ，直线 及x轴所围成图形的各部分面积的代数和,定积分 的几何意义为：,(1) ， ； （简单性质）;,(2) （和差性质）;,(3) （c为常数）,3.定积分的定义基本性质,(数乘性质）;,(1) ，,(4) ； （分段性质）,(5)若在区间 上有 ，则有 ； （可比性质）,(4),例4.1.3 比较定积分 的大小.,解 在区间1，2上， ，由性质（5
4、）知,（6）设M和m分别是f(x) 在a,b上的最大值和最小值，则有,（最值性质）,例4.1.3 比较定积分,例4.1.4 估计 的值.,解 令 = ，求导得 .,令 ，得 .,所以 .,例4.1.4 估计 的值.解 令,(7) 若 在区间 上连续，那么在区间 上至少存在一点 使,. （中值性质）,(7) 若 在区间 上连续，那么在区间,1. 原函数与不定积分,定义4.1.2 在开区间I内，若可导函数的导函数为, 即 ，则称函数 为函数 的一个原函数.,定义4.1.3 函数 为函数 的一个原函数,则称表示式 为 的不定积分记为 .,（C为任意的常数）.,其中称为积分变量，称为被积函数，称为被积
5、表达式，C称为积分常数，“ ”称为积分号.,二. 牛顿-莱布尼兹公式,即,1. 原函数与不定积分定义4.1.2 在开区间I内，若,例4.1.5 求,解 ， 的一个原函数.,则 +C表示了函数 所有的原函数， +C是 的不定积分.,即 +C.,例4.1.5 求解 ，,注意：(1)原函数、所有原函数表示式、不定积分三个概念之间的关系.,(2)求不定积分 ，归结为求出它的一个原函数，再加上一个任意常数C，切记要“+C”，否则，求出的只是一个原函数而不是不定积分.,(3)可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确.,(4)若 = ， = ，则有 .从而有 即同一个函数的原函数间仅差一个常数.,注意：(1)原函数、所有原函数表示式、不定积分三个概念之,2. 牛顿-莱布尼兹公式,这就是牛顿莱布尼兹公式，由牛顿与莱布尼兹两位数学家而得名。,注意:计算定积分 ，实际上只要求得一个原函数 ，即可转化为求 的函数值的求法问题.,若 是有限区间 上连续函数 的一个原函数,则有,2. 牛顿-莱布尼兹公式这就是牛顿莱布尼兹公式，由牛顿,例4.1.7求 (即阿基米德的面积问题) .,解 ， ，, ，,它的求法较之前面显然简便多了.,例4.1.7求 (即阿基米德的面积问,例4.1.8 .,解 ，, ，, .,今后，求定积分可按程序：求 的一个原函数 ，再求值 .,例4.1.8 .解 ,
