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1、一、数的发展史,被“数”出来的自然数,远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果， 用划痕、 石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地 古代印度人最早使用了“0”.,被“分”出来的分数,随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的.,分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.,如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？,于是分数就产生了.,被“欠”出来的负数,为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进了负数 负数概念最早产生于我国， 东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法公元
2、3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则 千年之后， 负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。,负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.,被“推”出来的无理数,2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真
3、理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。,无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.,i 的引入:,对于一元二次方程 没有实数根,引入一个新数：,虚数单位 i,引入一个新数 ， 叫做虚数单位，并规定：,（1）它的平方等于 -1，即,（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立,二、复数,形如a+bi(a,bR)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.,全体复数所成的集合叫做复数集,C表示,1、复数的概念,N Z Q R C,2、复数的代数形式,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位.,3、复数的分类及其关系,4、复数相等,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说
4、这两个复数相等即如果 ，那么,复数不一定能比较大小.,5、共轭复数,Z=a+bi(a,bR)，其共轭复数为：,三、例题讲解,例1. 判断下列各数, 哪些是实数?哪些是虚数? 若是虚数请指出实部与虚部.,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,（3）当,即 时，复数z 是纯虚数,解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数,例2.实数m取什么值时，复数 （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？,练习:当m为何实数时，复数 （1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.,例3. 设x，yR，并且 2x1+xi=y3i+yi，求 x，y.,1.虚数单位i的引入；,2.复数有关概念：,3.复数的分类：,学习小结,在
5、几何上，我们用什么来表示实数?,想一想？,实数的几何意义,类比实数的表示，可以用什么来表示复数？,实数可以用数轴上的点来表示.,实数,数轴上的点,(形),(数),一一对应,复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系 来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面(简称复平面),一一对应,z=a+bi,5、复数的几何意义,复数z=a+bi,一一对应,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
6、(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数.,例1.辨析：,1下列命题中的假命题是（ ）,D,2“a=0”是“复数a+bi (a , bR)是纯虚数”的（ ） (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件,3“a=0”是“复数a+bi (a , bR)所对应的点在虚轴 上”的（ ） (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件,例2. 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围.,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,
7、转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思想：数形结合思想,变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值.,解： 复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对 应的点是（m2+m-6，m2+m-2），, (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，,m=1或m=-2.,复数z=a+bi,一一对应,复数z=a+bi,直角坐标系中的点Z(a,b),一一对应,3.2.1复数代数形式的四则运算,一、温故而知新,（4）复数的几何意义,（1）复数的概念,（2）复数的分类,（3）复数相等,1、复数的加法法则：设z1
8、=a+bi，z2=c+di (a,b,c,dR) 是任意两复数，那么它们的和：,（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数 加法法则保持一致;,（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广 到多个复数相加的情形.,二、探究新知,说明:,问：复数的加法满足交换律，结合律吗？,设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,dR),设 及 分别与复数 及复数 对应，则,问：复数加法的几何意义吗？,问：复数是否有减法？如何理解复数的减法？,复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足 (c+di)+(x+yi)= a+bi
9、 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作 (a+bi)-(c+di).,根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数.,说明:,2、复数的减法法则：,问：复数减法的几何意义？,设 及 分别与复数 及复数 对应，则,3、复数的乘法法则：,(1)两个复数的积仍然是一个复数；,说明:,(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算 过程中把 换成1，然后实、虚部分别合并.,易证复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律,任何z1 , z2 ,z3 C,有,例题,练习：（1）i+i2+i3+i2007=_；（2）i+i3+i5+i33=_.,定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a, b,c,d,x,y都是实数, 记为,4、复数的除法法则：,(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0),(分母实数化),谢谢指导!,
