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1、1.1 n 阶行列式,第一章 行列式,1.2 行列式的性质,1.3 克拉默法则,1.4 克莱姆法则解线性方程组,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,D,=,则二元线性方程组的解为,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积
2、冠以负号,说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4 解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,小结,对于数码 is 和 it ：,逆序数：一个排列中逆序的个数，,例 求 132 、436512 的逆序数,解,逆序数为偶数的排列称为偶排列，,n 阶（级）排列：由n个不同的数码1,2,n组成的有序数组,132 是奇排列，,436512 是偶排列。,但 312是偶排列，,63
3、4512、436521是奇排列。,三、排列与逆序数,大前小后叫逆序(反序),记为：,为奇数的称为奇排列。,可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性！,再分析P. 5的表1-1, 一个对换改变排列的奇偶性；, 3!个排列中，奇、偶排列各占一半。,定义 一个排列的两个元素交换位置,其余元素 不动,称为对换. 相邻两个元素的对换称为相邻对换.,定理1 对换改变排列的奇偶性。,证,（1）设元素 i,j 相邻：, 若 ij ,则新排列增加一个逆序;, 若 ij ,则新排列减少一个逆序。, 改变了奇偶性,（2）设元素 i,j 不相邻：,共作了2s+1次相邻对换，,由（1）知，排列改变了奇偶性。,定
4、理2 n 个数码构成 n! 个n 级排列， 奇偶排列各占一半（ n!/2 个）。,证,设有p 个奇排列，q 个偶排列，, 个奇排列, 个偶排列,q 个偶排列,q 个奇排列,四、n 阶行列式的定义,定义,其中 称为的第 行第 列的元素 横排称行,竖排称列.,的一般项还可记为,列标按自然顺序排列,n阶行列式的另外两种表示(证明略）：,说明：,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程 个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的;,2、 阶行列式是 项的代数和;,3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积，每一项符号确定;,4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,几种特殊行
5、列式：,例,解 由定义，,只有,右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9),特别： 对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10),例,定义,中的行与列按原来的顺序互换，得到的新行列式称为原行列式的转置行列式,记为D T.,把n阶行列式,五、行列式的性质,显然 也是 的转置行列式.,性质1行列式与它的转置行列式 相 等，即,说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,性质2如果将行列式的任意两行(或列)互换， 那么行列式的值改变符号，即,例如,性质3如果行列式中两行(或列)对应元素全 部相同，那么行列式的值为零，即,例,性质4 行列式一行(或列)的
6、公因子可以提 到行列式记号的外面，即,例如,推论2如果行列式中有一行(或列)的全部元素都是零，那么这个行列式的值是零.,推论1一个数乘行列式等于该数乘行列式中某一行(或列)的全部元素.,性质5行列式中如果两行(或列)对应元素成比例，那么行列式的值为零.,，,那么此行列式等于两个行列式之和.,性质6 行列式中一行(或列)的每一个元素如果可以写成两数之和，,即,例如二阶行列式,性质7在行列式中，把某一行(或列)的k倍加到另 一行(或列)对应的元素上去,那么行列式的 值不变，即,用性质6和性质5可证之.,例,在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查:,符号规定,（2）第i 行(或列)乘以数k 记作 kri (或kci),（1）交换i j 两行记作 rirj 交换i j 两列记作 cicj,（3）以数k乘第j 行(列)加到第 i 行(列)上 记作 krj +ri (kcj +ci) ,切记：krj +ri不同于ri + krj,例1计算下面行列式的值,应用举例,解(1)把的第二行的元素分别看成： 300-10，100+6，200-4，由性质4，得,而由推论2和性质3、性质5，得,，,，,所以,例2计算行列式的值,解,例3证明,证,思考题,思考题解答,解,
