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1、,对角线法则,二阶行列式的计算,二元线性方程组,的解为,三阶行列式的计算-对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,n阶行列式的定义,定义,上三角行列式,下三角行列式,对角行列式,特别的，,第二节 行列式的性质,一、行列式的性质,二、应用举例,三、小结,一、行列式的性质,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,改变书写方向,证明：,则,由行列式定义,说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,交换2，3行,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,证
2、明：,设,交换s、t 两行，得,s行,t行,由行列式定义可知，D中任一项可以写成,因为,（2）,（1）,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行，有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,Ex.1,设,求,解,利用行列式性质,有,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,例如,性质5动画演示,例,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加
3、到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,解,例2 计算行列式,解,将第2,3,4列都加到第1列得,例3 计算 阶行列式,解,将第 都加到第一列得,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,三、小结,行列式的性质,Ex1.,Ex2.,(3),解：,(4) 解:,= - 4.,思考题：,设,求,解：,例,箭形行列式,目标：把第一列化为,成三角形行列式,Ex.,（可以化为箭形行列式）,证,例,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1,例 计算,解,将D3的第1行加到第3行上，得,例 计算,解,设,则 D=D1D2.,可简记为,其中D1是m2个元素aij排成m行m列； D2是n2个元素bij排成n行n列；*是任意nm个元素cij排成n行m列;O是mn个数0排成m行n列.,注意：,以上的几个式子可作为公式用.,
