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1、二、可微的条件,一、全微分的概念,多元函数的全微分,第三节,第八章,函数的微分,一元函数 y = f (x)的增量：,（当一元函数 y = f (x)可导时）,二元函数 z = f (x,y)：,（当二元函数 z = f (x, y) 对x的偏导数存在时）,对x的偏增量,对x的偏微分,一、全微分的概念,1. 问题的提出,对y的偏增量,对y的偏微分,（当二元函数 z = f (x, y) 对y的偏导数存在时）,在点(x,y)的全增量,问题,的线性函数来,近似代替函数的全增量？,可否用自变量的增量,如果函数 z = f ( x, y )在点( x , y )处的,可表示成,其中 A , B 不依赖
2、于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,全增量,2. 全微分的定义,定义8.7,1 若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数,2 由定义可知, f ( x, y ) 在点( x0, y0) 可微的 充要条件是:,在D 内可微.,注,定理8.2 (多元函数可微的必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则,(2) 函数z = f (x, y) 在点(x, y) 的两个偏导数,存在,且有,(1) 函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 连续;,
3、从而,二、可微的条件,若z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则,证,1. 可微与连续、可偏导的关系,得到对 x 的偏增量,(2) 由可微定义，有,从而,(1),1 习惯上把自变量的增量用自变量的微分表示,同样可证,因此有,注,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏,微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,2可微与连续、可偏导的关系,对于多元函数，,可微,连续,可偏导,3如何判断多元函数的可微性,若不连续，,则不可微；,若偏导数不存在，,则不可微；,连续且偏导数存在时,用可微的充要条件判断:,？
4、,用此式判断函数在一点是否可微,例1,讨论,(1) 连续；(2) 偏导数存在；(3) 可微.,解,(1),= 0 = f (0,0),(2),(3),？,则,2. 可微与偏导数连续的关系,定理8.3 (多元函数可微的充分条件),若函数,的偏导数,则函数 f (x, y) 在该点可微.,证,由有限增量公式,即函数,在点,可微.,注意到,故有,偏导数连续,可微,例2,证,令,则,同理,故函数在点 (0, 0) 处连续 ;,不存在.,下面证明：,可微 .,令,则,注 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.,而非必要条件.,多元函数连续、偏导数、可微的关系,例3,解,例4 计算函数,在点 (2,1
5、) 处的全微分.,解,求函数,时的全增量和全微分.,解,例5,从而,当 x = 2 , y =1 , x = 0.01 , y = -0.03 时,内容小结,1. 微分定义:,2. 重要关系:,3.讨论函数在（0，0）点是否可微的步骤,(1)讨论函数在(0,0)点是否连续,若不连续,则不可微;,(2)讨论函数在(0,0)点的偏导数是否存在,若不存在,则不可微;,(3)当函数在(0,0)点连续,且偏导数存在时,用下式,讨论函数在(0,0)点是否可微,思考题,函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,备用题,解,例1-1,例1-2,解,例3-1,解,例3-2,计算函数,解,的全微分.,例4-1,解,例4-2 设,解,利用轮换对称性 , 可得,注意: x , y , z 具有 轮换对称性,解,例5-1,
