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1、多准则决策及其在数学建模中的应用,清华大学 姜启源,多准则决策概述,多属性决策的一般步骤,多属性决策应用过程中几种主要方法的比较,层次分析法与多属性决策和多属性效用理论的关系,提要,多属性决策（MADM, Multiple Attribute Decision Making）,多准则决策（MCDM, Multiple Criteria Decision Making）,多目标决策（MODM,Multiple Objective Decision Making ）,【多属性效用理论（MAUT, Multi-Attribute Utility Theory）】,MADM ：为了一个特定的目的在若干
2、备选方案中确定一个最优的，或者对这些方案按照优劣进行排序，或者给出优劣程度的数量结果, 而方案的优劣由若干属性给以定量或定性的表述。,MODM ：为了若干特定的（一般是相互矛盾的）目标在若干备选方案中确定一个一定意义下最优的，而备选方案集合由一些约束条件给定。,MODM又称多目标优化或目标规划,多属性决策(MADM)与多目标决策(MODM)概述,多属性决策（MADM）与多目标决策（MODM）应用领域非常广泛,MODM：选择收益大且风险小的投资组合、照顾乘客和航空公司双方利益的航班安排、 2011B题交警平台设置要考虑出警时间和工作量均衡、2009B题病床安排方案要考虑公平和效率两方面、2009
3、 D题会议筹备要考虑预订宾馆、会议室的数量、费用、距离等,MADM ：国家综合实力评价、大学排名榜、公司新厂址选择、教师绩效考核、2011B题各区交警平台设置的合理性评价、2010D题学生宿舍设计方案的评价 、2009B题病床安排的合理性指标 ,多属性决策(MADM)的一般步骤,要素：备选方案组与属性集合、决策矩阵、属性权重、综合方法.,备选方案组：由实际问题决定.,1. 备选方案组与属性集合,确定属性集合的原则：,全面考虑，选取影响力（或重要性）强的.,属性间尽量独立（至少相关性不太强）.,不选难以辨别方案优劣的（即使影响力很强）.,若数量太多（如大于7个），应将它们分层.,尽量选可量化的，
4、定性的也要能明确区分档次.,2决策矩阵备选方案对每一属性的属性值,例 选择战斗机 (4种型号),X1最高速度(马赫), X2航程(千海里), X3最大载荷(千磅) X4价格(百万美元), X5可靠性, X6 机动性.,各方案对属性的定量取值或定性表述,对X5, X6表述的量化： “很高”、“高”、“中”、“低”、“很低” 记分9,7,5,3,1，,设有m个备选方案A1, A2, Am, n个属性X1, X2, , Xn,决策矩阵,例 选择战斗机,Ai对Xj的取值 dij 属性值,决策矩阵（属性值）的获取,调查、度量各方案对属性的取值 (偏于客观),通过成对比较，从正互反阵解出特征向量 (偏于主
5、观) 层次分析法,dij作比例尺度变换,决策矩阵标准化,R的列最大值为1最大化,R的列和为1归一化,R的列模为1模一化,dij作区间尺度变换,R的列最小值为0（最大值为1）,属性值的物理意义(包括量纲)各不相同,效益型属性值单调增,决策矩阵标准化时先对费用型属性值作倒数变换:,属性值(对决策优劣)的性质,单调性,线性性,对于明显呈非线性的属性值（如边际效益递减），需先拟合合适的函数作变换.,归一化,最大化,费用型属性值单调减,注意非单调性属性的标准化处理,3属性权重,X1, X2, , Xn的权重,，,属性权重的获取,层次分析法：用成对比较矩阵解出特征向量,偏于主观,根据决策目标通过经验、调查
6、等先验地给出,信息熵法 (借用信息论中熵的概念),偏于客观,熵 信息论中衡量不确定性的指标，信息量的(概率)分布越趋于一致，不确定性越大.,A1, Am对属性Xj的熵为,rij越一致, Ej越接近1,定义Xj对于方案的区分度,可用rij的均方差或极差代替Fj,属性权重,信息熵法,例,以上方法的综合,记偏于主观与偏于客观的方法得到的权重分别为,综合权重,根据决策者对w(1), w(2)的偏好程度进行调节,或,各种方法的详细步骤参看：,Hwang C.L. and Yoon K. Multiple Attribute Decision MakingMethods and Applications
7、. Berlin/Heidelberg/New York Springer-Verlag ,1981,4综合方法-由决策矩阵与属性权重得到最终决策,徐玖平，吴巍编著 多属性决策的理论与方法. 北京 清华大学出版社 2006,粗糙,模糊,确定,随机,4综合方法-由决策矩阵与属性权重得到最终决策,按照决策者掌握的属性信息量的多少将方法分类,没有任何属性信息,占优法,最大最小法,给定各属性的最低水平,合取法,析取法,已知各属性权重的顺序,字典序法,排列法,已知各属性权重的数值,简单加权和法,加权积法,线性分配法,接近理想解的排序法,删除选择法,1. 简单加权和法（SAW, Simple Additi
8、ve Weighting ）,隐含假设：属性相互独立，各属性值对整体评价的影响可以叠加，因而各个属性具有互补性.,方案Ai 对n个属性的综合取值为,对决策矩阵采用不同的标准化方法（归一化、最大化），得到的结果会有差别.,或,2. 加权积法（WP, Weighted Product ）,可以直接用方案对属性的原始值dij，不需要标准化,若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的权重应取负值 .,将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：,3. 接近理想解的排序法（TOPSIS ）,n个属性、m个方案视为n维空间中m个点的几何系统,每个点的坐标由 确定,在空间中定义欧氏距离，决策矩阵模一化,正理想解由
9、所有最优加权属性值构成,负理想解由所有最劣加权属性值构成,定义距正理想解近、距负理想解远的数量指标 相对接近度,备选方案的优劣顺序按照相对接近度确定,4. 删除选择法（ELECTRE）,比较每一对方案 Ai , Ak的加权属性值vij和 vkj, 按照vijvkj和vijvkj 将属性集分为一致集和矛盾集.,利用属性值和权重定义一致性指标cik和矛盾性指标dik, cik越大, dik越小, Ai越优于Ak .,将欧氏距离改为街区距离, 且决策矩阵归一化或最大化,TOPSIS方法等价于简单加权和法的情况:,确定度量cik ,dik的阈值 , 时Ai 优于Ak, 由此决定删除和选择的方案.,应用
10、过程中几种主要方法的比较,例 选择战斗机,方案排序基本一致：A3，A1优于A4，A2,4种方法对方案的优劣排序,用SAW，WP，TOPSIS 计算的数值结果,例 选择战斗机,A3与A1（A4与A2）差别不大，A3，A1明显优于A4，A2,用各种方法得到的结果没有显著差别,几种方法的集成,“多属性决策(MADM)方法选择本身就是一个MADM问题”,甄选：利用占优法、和取法、字典序法等将被占优的、不可接受的方案删除.,排序或计算：分别利用SAW, WP, TOPSIS等对方案按照优劣排序或计算数值结果.,集成：对几种方法得到的排序或数值结果进行集成.,平均法,Borda数法,加权和法,与其寻找最好
11、方法，不如将几种方法的结果加以集成.,简单、方便的SAW适用于日常生活中大多数多属性决策问题.,一些重大决策不妨采用思路更缜密、计算手段更全面的TOPSIS, ELECTRE方法，或者将几种方法加以集成.,多数文献通过实例进行对比，认为一些主要方法得到的结果没有显著差异，但不能得出一般的结论.,应当在确定属性集合及属性权重上多花些精力，它们对最终决策的影响比不同方法的选择要大得多.,结论与建议,AHP的基本步骤,1.建立层次分析结构模型,2.构造成对比较阵,3.计算权向量（主右特征向量）并作一致性检验,4.由各层的权向量计算组合权向量,层次分析法(AHP)与多属性决策(MADM)和多属性效用理
12、论(MAUT) 的关系,AHP的提出（20世纪80年代）比MAUT稍晚.,AHP的应用领域与MAUT相近.,AHP可视为MADM的方法之一，MADM的加权和法是AHP的特例.,AHP与MAUT在学术上的争论一直存在.,AHP应用中的几个问题,1.决策矩阵中属性值的获得,相对度量对每一准则由各方案的成对比较阵和特征向量得到.,绝对度量按每一准则的特性划分为若干等级，各方案“对号入座”,博士硕士学士高中初中,杰出丰富中等较少无,优秀良好中等偏下差,按每位职员的教育、经验、品质、情况划入相应的等级,适用于了解不够的新问题,适用于了解充分的老问题,2.决策矩阵中属性值的标准化,分配模式 (Distri
13、butive Mode), 即归一化,当某一方案的属性值改变时，其他方案的属性值随之改变,理想模式 (Ideal Mode), 即最大化,任一方案的属性值独立于标准方案外的其他方案,决策者关心每个方案支配（占优）其他方案的程度,决策者关心每个方案相对标准方案的优劣,getting a well performing car,getting a car that stands out among the alternativespurchased by co-workers,当新方案加入（或旧方案退出）时原方案的优劣排序是保持还是会逆转？,3.方案排序的保持或逆转（准则权重不变）,模拟实验（29
14、个准则、 29个方案加入一新方案，每种情况模拟1000次）表明：,对分配模式(DM)原方案属性值改变，排序可能改变.,对理想模式(IM)原方案排序不变，但当新方案属性值高于原方案时，原方案排序可能改变.,原方案优劣排序不变的占80%以上.,用绝对量测，新方案加入时原方案优劣排序不变.,排序保持或逆转的算例,DM,IM,DM,IM,IM,属性值可大于1,逆转,保持,逆转,保持,4.分配模式 (DM) 与理想模式 (IM) 的选用,分配模式(DM)用于资源固定的封闭系统，新用户（方案）的加入会稀释资源，需重新分配.,理想模式(IM)用于资源不定的开放系统，新用户的加入一般不会稀释资源，原用户不需重
15、新分配.,对固定方案集合的选优(只选一个)、定性评价(只考虑优劣顺序)等问题，两种模式均可但多用IM.,对固定方案集合的资源分配、定量评价(考虑数值大小)等问题，易用DM.,注 区间尺度变换 在排序保持比例上少于IM和DM(模拟)，尤其不适用于资源分配问题.,资源分配问题的算例,问：1万元奖金如何分配？,DM,IM,经验：教学5千元平分，科研5千元给B,与经验一致,与经验有别,区间尺度,严重不妥!,5. AHP与MAUT的争论二者的公理化系统有区别,AHP允许排序逆转而MAUT不允许.,Saaty: From its axioms to its procedures, the AHP has
16、turned out to be historically and theoretically a different and independent theory of decision making from utility theory.,MAUT需要偏好排序的传递性而AHP不需要.,Because the AHP is not an extension of MAUT, why is it criticized for not adhering to axioms of MAUT? Must all procedures for resolving multiattribute pro
17、blems follow the rules of MAUT? Are the axioms of MAUT sacrosanct?,S.I. Gass, Model World: The Great Debate?MAUT Versus AHP, Interfaces Vol. 35, No. 4, 2005, p308,AHP 新的参考文献,T.L.Saaty, L.G.Vargas, Models, Methods, Concepts & Applications of the Analytic Hierarchy Process (Second Edition),Springer Sc
18、ience+Business Media New York, 2012,T. L. Saaty, Rank from comparisons and from ratingsin the analytic hierarchy/network processes, European Journal of Operational Research 168 (2006) 557570,E. H. Forman, S. I. Gass, The Analytic Hierarchy Process: An Exposition, Operations Research, Vol. 49, No. 4 (2001), 469-486,谢谢大家！,
