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1、试谈“几何直观”与“直观想象” 曹培英,跨 越 断 层 走 出 误 区,一、几何直观,义务教育数学课程标准： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。,案例1：学困生研究“你喜欢什么样的数学题”？ “我最喜欢看图写数，一看就会”,1 2 3 1,：理解,手段,直观教学：感知概念(思维),一、几何直观,义务教育数学课程标准： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，
2、预测结果。 几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。,案例2：原来每天写10个字,每周写5天。现在每天多写2个字, 每周写7天。现在每周比原来多写多少字？27？,10字,5天,多种算法,：理解,描述,探索,2710225122127105,数学认知风格：代数型；几何型,5天多写的双休日写的,7天多写的原2天写的,手段,一、几何直观,义务教育数学课程标准： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。,案例3：,1
3、,：理解,描述,探索,本质上都是看出来的,、预测,手段,一、几何直观,义务教育数学课程标准： 几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。 几何直观可以帮助直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。孔凡哲、史宁中： 几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式和数量关系)进行直接感知、整体把握的能力。,的能力。,：理解,描述,探索,、预测,一、几何直观,孔凡哲、史宁中： 几何直观是指，借助于见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系，对数学的研究对象(空间形式
4、和数量关系)进行直接感知、整体把握的能力。,感知：感觉、知觉的统称客观事物通过感觉器官在人脑中的直接反映整体把握：高层次的思维全面的、深层次的理解,认,二、相关概念的辨析,几何直观与直观几何？ 基于直观的数学思维 侧重直观的几何课程 几何直观与几何直觉？倾向于整体把握、洞察倾向于本能意识、猜想 几何直观与空间观念？空间观念是几何直观的基础几何直观是空间观念的运用与升华 “课标(实验稿)”中的“ 空间观念”已涵盖几何直观,案例4：如图，“ ”与“ ”， 哪个面积大?,几何直观与几何推理？几何推理始于几何直观（两层意思）几何公理依赖直观直观帮助发现几何规律几何推理确认几何直观有时，几何直观具有几何
5、推理难以企及的优势案例5：正方形盒内放相同月饼，使月饼直径最大。,1个,2个,4个,二、相关概念的辨析,几何直观与数形结合？ 共同部分：“形使数更直观” 区别部分：“数使形更入微” 几何本身也要依靠直观 几乎所有的举例都是“数形结合”。 有没有不是数形结合的几何直观呢？ 欧氏几何公理是相当纯粹的几何直观，基本不靠数形结合。 案例6：两点之间的连线线段最短。 案例7：一般的平行四边形不是轴对称图形。 依靠直观确认，难以证明。, ,二、相关概念的辨析,三、直观想象,高中数学课程标准： 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事
6、物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。是几何直观与空间想象能力的整合把“想象”去掉，实际上就是“数形结合”何小亚,三、直观想象,克莱因：数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。 希尔伯特：
7、在数学中，象在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的的意义，也可以说领会它们的生动的形象”。 史宁中： 数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。 人获得知识所凭借的，是先天的同时又依赖于经验的“直观能力”,数学抽象能力与这种直观能力是同构的，也是一种依赖于经验的先天抽象能力。 讨论这种抽象至少可以给数学教育提供两个重要启迪：一个是受教育者应当在适当的时机给予适当的教育；另一个是在传授知识的同时也应当注重培养受教育者的直观能力。 直观能力：并不局限于几何； 是一种整体把握、深刻洞察,
8、四、直观能力的实践解读,1.直观对于数学教学具有双重意义 一方面，它是数学抽象的基础与数学认知的支撑； 另一方面，它又是数学理解、抽象的重要内涵与数学认知的深化。 2.有必要区分直观的层次 直观感知：感性认识；具体的 直观理解：理性认识；一般的 直观洞察：理性认识的升华；深刻的,其他数呢？还需要再举例吗？为什么？,案例8：运算律,四、直观能力的实践解读,3.直观并非局限于几何直观（数形结合） 案例9：百米赛跑，速度越快，时间越短 路程一定，速度与时间成反比例 经验直观几何直观 案例10：因数与积的大小关系,几何直观不如经验直观,五、直观能力的培养策略,以几何直观为主，其他直观为辅,直观,语言直
9、观,替代物直观,实物直观,模象直观,图形直观,图像直观,经验直观,五、直观能力的培养策略,以几何直观为主，其他直观为辅 1.加强空间观念的建立 2.加强数形结合的运用 一直大量采用， 需要提升水平 如：停留在看图找规律水平上 案例11：,看数列更易发现规律,看图解释规律,五、直观能力的培养策略,以几何直观为主，其他直观为辅 3.加强构造直观的训练 如：示意图线段图韦恩图长方形图 对应型直观：函数与图像、分数应用题与线段图 模式识别、匹配 构造型直观：没有已知、明显、约定的对应关系 类比迁移、顿悟；合理的对应关系 案例12：奇偶数的示意图（几何模型）,后测题之一： 如果一个很大的奇数和一个很大的
10、偶数相加，和一定是奇数么？为什么？少数用个位相加说明多数用几何模型说明,n,m,(2n1)2m2(nm )1,（具有一般性）,13,8,2m,2n1,五、直观能力的培养策略,以几何直观为主，其他直观为辅 3.加强构造直观的训练,案例13：田径队男生平均体重42千克，女生平均体重38千克。全体队员平均体重可能是多少？ 男女人数相等： (4238)240；,男生人数更多时,在4042之间；,女生人数更多时,在3840之间。,男人数,42,女人数,38,男,男人数,42,女人数,38,男,五、直观能力的培养策略,用矩形图解释加权平均,五、直观能力的培养策略,以几何直观为主，其他直观为辅 1.加强空间
11、观念的建立 2.加强数形结合的运用 3.加强构造直观的训练 如：示意图线段图韦恩图长方形图 4.重视数学的直观理解,什么是理解？,理解作为一个过程是指个体运用已有知识、经验去认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及规律的思维过程。 理解是在新情境中灵活运用理论和概念的能力。 教师关注理解的表现： 知其然知其所以然解释说明寻找例证概括归纳解决问题,五、直观能力的培养策略,以几何直观为主，其他直观为辅 1.加强空间观念的建立 2.加强数形结合的运用 3.加强构造直观的训练 4.重视数学的直观理解 案例14：分数乘除法,1832,1823,“归一”,18的三分之二,已知一个数的三分之二是18，求这
12、个数,6,9,语言直观与经验直观的整合 数学教育的中华民族特色,五、直观能力的培养策略,以几何直观为主，其他直观为辅 1.加强空间观念的建立 2.加强数形结合的运用 3.加强构造直观的训练 4.重视数学的直观理解 5.重视数学的直观洞察 直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，获得对事物及其关系(规律)的整体把握、本质认识。,怎样让学生直观知其然？,7,用16厘米长铁丝围长方形，面积？,案例15：,6,2,五、直观能力的培养策略,6,2,5,3,12,7,怎样让学生直观知其然？,用16厘米长铁丝围长方形，面积？,案例15：,五、直观能力的培养策略,6,2,12,7,5,3,怎样让学生直
13、观知其然？,用16厘米长铁丝围长方形，面积？,案例15：,五、直观能力的培养策略,6,2,12,7,5,3,15,4,4,16,怎样让学生直观知其然？,用16厘米长铁丝围长方形，面积？,面积增加越来越小,面积定有最大值,案例15：,五、直观能力的培养策略,观察类推 验证,五、直观能力的培养策略,以几何直观为主，其他直观为辅 1.加强空间观念的建立 2.加强数形结合的运用 3.加强构造直观的训练 4.重视数学的直观理解 5.重视数学的直观洞察 直观洞察：基于观察、经验，通过类比、推理、想象，获得对事物及其关系(规律)的整体把握、本质认识。,数学本质上是思维学科 案例16：三角形三边关系,数学本质
14、上是思维科学,作为数学教师，我们理解了吗？,两种处理区别何在？,线段公理,三边关系,构成三角形选择三边长度已知三角形发现三边关系,清一色反对琵琶的反思：为什么动物都有的本能，竟成了教学的难点？,五、直观能力的培养策略,引入,讨论,结论,应用,任意两边之和第三边 两边之和第三边 两边之和第三边,推理、想象能消弭难点,逆向思维导致难点？,依据,“真正的儿童数学”,数学本质上是思维科学,五、直观能力的培养策略,首先，想象与经验本身具有局限性。 案例16：华罗庚的“困惑”什么样的六角形钝角10928,锐角 7032,都小于120，不懂！既说蜂窝是六角形的，又说它是菱形 容器。不懂！这样想，那样推，无法
15、形成一个形象。必须请教实物，到底是怎样的形状！感谢刘崇乐教授，给了一个蜂房,六、直观的局限性,首先，想象与经验本身具有局限性。 案例16：华罗庚的“困惑” 想象不出看一眼就知道 案例17：“折纸”一张纸对折30次，有多厚？不可能对折30次！0.1mm0.0001m， 不敢想象无法验证 无需验证,六、直观的局限性,0.0001230,10737(m),一卷85美元1200米长特制卫生纸折叠了11次,首先，想象与经验本身具有局限性。 其次，直观具有启发猜想、发现真理功能，却不总能兼备证明真理、确保真理可靠性功能(公理除外)。 如同合情推理，本质是一种或然推理。 这是数学自身特点(高度抽象与严谨)所
16、决定的。 一句话：直观具有或然性。 有时，可能导致悖论。案例18：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？,六、直观的局限性,夹角为0,平面上两直线,相交,平行,重合,(没有交点),(一个交点),(无数交点),间距为0,从量变到质变,六、直观的局限性,直观具有启发猜想、发现真理的功能，却不总能兼备证明真理、确保真理可靠性的功能（公理除外）。 如同合情推理，本质是一种或然推理。 这是数学自身特点(高度抽象与严谨)所决定的。 一句话：直观具有或然性。 有时，可能导致悖论。案例18：两条直线重合是特殊的平行还是特殊的相交？,有必要指出： 将几何直观列为义务教育数学课程的核心追求之一，有积极意义，至少：有利于加深对直观的认识有利于指导直观教学的改进与提升 说到底“直观”是人与生俱来的本能，也是抽象的基础，直观的本能犹如“种子”，需要适当的培育，才能发芽、生长。 但就小学数学的教学实际而言，只要切实加强空间观念的培养，强化数形结合的意识与运用，就可以了。 因为小学数学历来以直观认识、直观理解为主。 到高中，数学学习更多依赖抽象逻辑思维，再来强调直观想象，恐怕更具实践指导意义。,谢 谢！欢迎提问 共同探讨,跨 越 断 层 走 出 误 区,
