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1、抛物线及其标准方程,复习回顾： 我们知道,椭圆和双曲线有共同的几何特征：,都可以看作是:在平面内与一个定点的距离和一条 定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时,(1)当0e1时,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线呢？,平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点,准线,焦点,一、抛物线的定义:,直线l 叫抛物线的准线,d,求曲线方程的基本步骤：,建系,设点,列式,化简, 探讨建立平面直角坐标系的方案,方案(1),方案(2),方案(3),问题：哪种方案的方程更简单呢？,方案一：以 为 轴，过点 垂直于
2、的直线为 轴建立直角坐标系,设动点 ，定点F到直线 l的距离为P，则定点 ，由抛物线定义得：,化简得：,二、标准方程的推导,H,M(x,y),F,l,p,方案二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系，设定点F到直线 l的距离为p， 则定点 ，直线l的方程 ，由抛物线的定义得：,动点,化简得：,二、标准方程的推导,M(x,y),H,F,l,p,l,方案三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F、K的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xoy.,化简得：,M(x,y),二、标准方程的推导,由抛物线的定义得：,F,H,p,比较三种方案推导出的方程，哪种更简单？,方案(1),
3、方案(2),方案(3),三、抛物线的标准方程,把方程 y 2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,: 焦点到准线的距离,焦点坐标:,准线方程:,你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？,思考：,(1),(2),(3),(4),【四种形式抛物线的对比】,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),焦点坐标,准线方程,标准方程,P：焦点到准线的距离,抛物线标准方程的特征：等号左边是系数为1的二次项，右边是一次项.,小结：（1）一次项定轴，系数正负定方向；
4、（2）焦点与方程同号，准线与方程异号.,练习1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,例1. 已知抛物线的标准方程是 y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程;,【题后反思】：求抛物线的焦点坐标或准线方程，先把抛物线方程化为标准方程。,例2 .已知抛物线的焦点是 F(0,-2), 求它的标准方程.,练习2、根据下列条件写出抛物线的标准方程：,【题后反思】：求抛物线的标准方程，一般先定位，再定量。,例3 .（1）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程. （2）焦点
5、在x轴上，且抛物线上一点A（3，m） 到焦点的距离为5,例3 .（1）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程.,解抛物线过点（-3，2）， 当焦点在x轴时，设其标准方程为： y2 =-2px（p0） 把点A（3,2）代入方程 ，解得p= ， 其标准方程为 当焦点在y轴时，设其标准方程为： x2 =2py（p0）， 同理可得，p= ，其标准方程为 综上所述，过点（-3，2）的抛物线的标准方程为：,或,例3 .（2）焦点在x轴上，且抛物线上一点A（3，m） 到焦点的距离为5,解：设该抛物线的标准方程为y2=2px（p0）， 则其准线方程为： ，抛物线上一点A（3，m）到焦点的距离为5，由抛物线的定义知，3-（ ）=5，解得p=4，抛物线的标准方程为y2=8x,【 课堂小结】,1、椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别：2、会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程；3、注重数形结合的思想.,
